Не люблю делить я в «столбик»! (признаки делимости вне школьной программы)



Мы на 2 поделим быстро

И не грязно, очень чисто!

И на 9, на 3 — вот, сам ты посмотри!

Безусловно, будем знать

Как делить на 25.

На 4,6,7,8 -

Никого о том не спросим.

Не забудем мы про 5,

Очень просто вычислять!

Это, по всей видимости,

Признаки делимости!

Морёнова Александра

Чтобы ответить на вопрос о том, делится ли целое число a на целое число b, можно произвести деление этих чисел. Но при решении некоторых задач это может оказаться очень трудоёмким делом. Поэтому удобно знать некоторые признаки, которые позволяют без выполнения деления определять, делится одно целое число на другое или нет.

В курсе математики мы изучали признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3, на 5, на 9, на 10, которые применяли при разложении чисел на множители, при сокращении дробей.

А существуют ли другие признаки делимости?

Целью нашего проекта является исследование признаков делимости на числа от 2 до 20, кроме тех, что мы изучаем в школьном курсе математики и знакомство с ними других учащихся. Задачи проекта:

1. Познакомить с различными информационными источниками;
2. Систематизировать полученную информацию
3. Попробовать на практике применить несколько выявленных признаков;
4. Познакомить с другими признаками одноклассников

Признак делимости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление.

Общий признак делимости для любого числа даёт впервые Блез Паскаль в 1654 г: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число Признак Паскаля — метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число. Но для многих чисел он очень громоздкий.

Пример. 201делится на 3,т. к.

2∙1+0∙1+1∙1=3, где 1,1,1 — остатки от деления 100,10 и 1 на 3.

Признаки, изучаемые в школе, и следствия из них

В школе мы изучали признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9, ина 10. Пользуясь этими признаками, можно вывести признаки делимости на некоторые составные числа.

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно оканчивается чётной цифрой и сумма цифр делится на 3.

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 и на 0 и сумма цифр делится на 3

Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно оканчивается чётной цифрой и сумма цифр делится на 9.

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Деление числа, составленного из последних цифр

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

Примеры. число 14676 делится на 4, т. к. 76:4=19.

7316:4, 11124:4, 13131336:4

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Пример. число 579320 делится на 8, так как 320: 8=40.

Деление суммы (разности) чисел, составленных из некоторых групп цифр числа

Число делится на 7 тогда и только тогда, если результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Пример.

602:7,т. к. 60–2∙2=56 — кратно 7

224:7,т. к. 22–4 ∙2=14 — кратно 7

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на чётную цифру и когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11

Пример.

869:11, т. к.8–6+9=11- кратно 11

8679:11,т. к. 8–6+7–9=0 — кратно 11

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.

Пример. число 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104: 13=8

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз число единиц, кратно 17.

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным число единиц, кратно 19.

Вывод.

1. Гипотеза была подтверждена существуют другие признаки делимости, кроме тех которые мы изучаем в школьном курсе математики.
2. Зная основные признаки делимости на простые числа, можно получить признаки делимости на составные числа.
3. Цель достигнута, были изучены признаки делимости от 2 до 20.

Делить я в столбик не хочу.

Я хочу в уме!

И какие числа — как,

Буду знать вполне.

Признаки делимости мне помогут сразу.

А вот в столбик я не поделю ни разу!

Морёнова Александра

Литература:

1. Воробьёв Н. Н. Признаки делимости. — 3-е изд. — М.: Наука, 1980
2. Гельфанд М. Б., Павлович В. С. Внеклассная работа по математике. М., — «Просвещение», 1985.
3. Признаки делимости. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. — http://ru.wikipedia.org/wiki/ %CF %F0 %E8 %E7 %ED %E0 %EA %E8_ %E4 %E5 %EB %E8 %EC %EE %F1 %F2 %E8