Катамино — что это?

 

Вроде задача представилась несложной…

Может, иначе решить её можно –

Вместо того, чтоб идти напролом-ка?

Значит — это головоломка!

 

Человечество с давних времен увлекается различными головоломками. Они привлекают разнообразными формами, позволяют с пользой провести свободное время, проверить свои интеллектуальные способности. Среди бесконечного множества головоломок, есть головоломка – игра Катамино, которая появилась сравнительно недавно. К сожалению, эту головоломку-игру очень часто называют Пентамино. Почему? Так ли это? И я решил разобраться в вопросе: Катамино — это? Так родилась моя тема исследования.

Почему же Катамино очень часто называют Пентамино? Я решил сначала разобраться в вопросе: Что такое Пентамино?

Термин «полиомино» ввёл в употребление известный математик Соломон Вольф Голомб (Solomon W.Golomb).

Полимино или полиомино (англ.polyomino) — плоская геометрическая фигура, составленная из одинаковых квадратов так, что с каждого квадрата можно перейти через общие стороны на любой квадрат т. е. любая клетка имеет общую сторону с какой-то другой клеткой. Порядок полимино - это количество составляющих его квадратов. Полимино из n-квадратов называется n-мино.

 

n	Название	n	Название
1	Мономино (одноклеточные)	6	Гексамино (шестиклеточные)
2	Домино (двухклеточные)	7	Гептамино (семиклеточные)
3	Тримино (трёхклеточные)	8	Октамино (восьмиклеточные)
4	Тетрамино четырёхклеточные)	9	Нонамино (Девятиклеточные)
5	Пентамино (пятиклеточные)	10	декамино (десятиклеточные)

 

Далее я исследовал все возможные виды и комбинаций полимино до пяти. Мономино – это одноклеточное полимино или полимино первого порядка, т. е. это просто квадрат. Домино – это двухклеточное полимино или полимино второго порядка, т. е. это два квадрата.

Как же получить полимино следующего порядка?

Классический способ, дополнить полимино предыдущего порядка одним квадратом. При этом нельзя, чтобы стороны квадратов не совпадали с друг другом или касались с друг другом только вершиной углов.

 

Одинаковые полимино — это два полимино, размещенные на плоскости, одно из которых можно получить из другого либо непосредственно каким-нибудь поворотом, либо зеркальным отражением с последующим поворотом.

Считается, что зеркальная симметрия и поворот не создают новых фигур, т. е. различных фигур домино только одна.

Тримино – это трехклеточное полимино, или полимино третьего порядка.

Получение из домино двух тримино, похожи на них буквами I и L.

Считается, что все тримино не очень интересны, т.к. состоят из маленького количества клеток клетки.

Тетрамино – это четырехклеточное полимино или полимино четвертого порядка.

т. е. различных фигур тетрамино пять.

Если рассматривать «фиксированные» тетрамино, то есть считать различными также и повороты фигур на 90°, 180° и 270°, то:

L–тетрамино (оно же J) асимметрично и может быть ориентировано 8 способами — 4 поворота и 2 зеркальных отражения.

Z–тетрамино (оно же S) совпадает с собой при повороте на 180° и может быть ориентировано 4 способами — 2 поворота и 2 зеркальных отражения.

T–тетрамино имеет осевую симметрию и может быть ориентировано 4 способами — поворотами.

I–тетрамино имеет две оси симметрии и может быть ориентировано 2 способами — поворотами.

О–тетрамино совпадает с собой при зеркальном отражении и при любых поворотах на углы, кратные 90°, и может быть ориентировано единственным образом.

Пентамино – это пятиклеточное полимино или полимино пятого порядка. Пентамино — фигурка, составленная из пяти квадратиков (от слова «пента” — пять). Всего существуют 12 различных фигур (элементов) пентамино, обозначаемых латинскими буквами (TUVWXYZ), форму которых они напоминают и входят в имя FILiPiNo.

 

Получение всех 12 пентамино из тетрамино.

Считается, что зеркальная симметрия и вращательная симметрия не создают новых фигур. Если рассматривать вращения фигур на 90°, то существуют следующие категории симметрии:

–         L, N, P, F и Y могут быть ориентированы 8 способами каждая: 4 поворотами и ещё 4 зеркальными отображениями.

–         Z может быть ориентирована 4 способами: 2 — поворотами, 2 — зеркальными отображениями.

–         T, V, U и W могут быть ориентированы поворотами 4 способами каждая.

–         I может быть ориентирована поворотами 2 способами.

–         X может быть ориентирована единственным способом.

Например, вот восемь возможных способов ориентации пентамино L, F, P, N и Y:

После того, когда я узнал, что такое Пентамино, я решил ответить на вопрос: Катамино =Пентамино?

 

Пентамино — это плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединенных между собой сторонами.	Катамино –состоит из фигурок, которые имеют объём, т. е. состоят не из одинаковых квадратиков, а из одинаковых кубиков.

Получается, Катамино не является Пентамино.

Решил разобраться дальше. Раз в основе кубиков катамино лежат квадратики пентамино, может тогда: Катамино = Объёмное пентамино?

Поликуб — трёхмерная фигура, образованная путём соединения нескольких одинаковых кубов гранью к грани. Это полиформа, базовый сегмент которой имеет форму куба. Поликубы являются трёхмерными аналогами плоских полимино.

Порядок поликуба – это количество составляющих его кубиков.

 

n	Наименование
1	монокуб
2	дикуб
3	трикуб
4	тетракуб
5	пентакуб
6	гексакуб
7	гептакуб
8	октакуб

 

Пентакубики, о которых мы уже говорили выше, представляют собой пространственные полимино пятого порядка, не переводимые один в другой вращениями трехмерного пространства. Их 29 штук, из них 12 фигур берут в объемное пентамино.

Инновационным оказалось то, что разработчики Катамино вложили набор в 20 поликубиков еще и перегородку, которая может занимать десять разных положений. Это позволило, меняя положение перегородки, изменять размеры игрового поля. Получилась многоуровневая головоломка. Таким образом, основная цель головоломки «Катамино» заключается в том, чтобы из подходящего набора Поликубиков сложить прямоугольники всё возрастающих размеров от 3х5 до 12х5, одна из сторон которых равна 5.

 

Это идеальная головоломка, играя с которой выполняется важный принцип «От простого — к сложному». У решающего появляется вкус победы над головоломкой, интерес растёт, и тогда ему становятся по плечу другие уровни всё возрастающей трудности, в том числе и последний, десятый!

Катамино – игра-головоломка, которая развивает абстрактное мышление, геометрическое и пространственное воображение, воспитывает настойчивость и терпение, учит анализировать, развивает координацию и мелкую моторику. Катамино — это множество простых и экстремально сложных задач. Поэтому, Катамино это не объемное пентамино. Знак равенства можно поставить только в одном частном случае, когда действительно катамино совпадает с объемным пентамино.

Таким образом, Katamino — единственная имеет возможность плавно изменять сложность заданий, при этом самая высокая степень сложности, когда все фигуры используются. В объемном пентамино такой возможности нет.

Таким образом, я пришел к выводу и его представил в виде математической формулы:

Катамино, это головоломка, которая состоит из 20 поликубов: 12 пентакубиков (объемное пентамино), 6 монокубиков и 2 дикубика.

Выводы:

Катамино не нужно путать ни с пентамино, ни с объемным пентамино. Это связано:

Во-первых, катамино это объемная игра, в отличие от пентамино –состоит не из одинаковых квадратиков, а из одинаковых кубиков. Объем в игре развивает пространственное воображение, сами задания более нагляднее и интереснее.

Во-вторых, катамино, более обширная игра чем объемное пентамино, в ней куда больше интересных заданий, как с меньшим количеством чем в объемном пентамино, так и с большим. Тому, кому нравиться объемное пентамино, они всегда могут из катамино убрать 6 монокубиков и 2 дикубика и легко получить его.

В заключение, представляю свои творческие работы, которые создал из собственного пентамино, объемного пентамино и катамино.

пентамино	объемное пентамино		катамино

 

Литература:

 

1.          Материалы школьной научно-практической конференции по математике “Исследуем и проектируем-2016” Математические головоломки: полимино с.21–23.
2.          А. В. Спивак «Тысяча и одна задача по математике» Издательство: Просвящение 2010 г.
3.          С. В. Мациевский Математическая культура. Игры: Учебное пособие.-Калининград:Изд-во КГУ, 2003.-с-120.
4.          http://pedagogic.ru/books/item/f00/s00/z0000017/index.shtml
5.          Женя Кац. Катамино. Варианты игр и заданий с фигурками катамино.
6.          «Наука и жизнь» № 2, 1986 г. Объемное пентамино. https://www.nkj.ru/archive/articles/5705/
7.          http://mathemlib.ru/books/item/f00/s00/z0000022/st028.shtml
8.          Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» 1972 г № 11
9.          https://ru.wikipedia.org