Рассматривая книги по математике, я обратила внимание на задания, в которых нужно было найти площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге.
Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на бесконечном листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании. Поэтому, проведя исследования, я выяснила, что существует теорема Пика, которая в школьной программе не изучается, но которая поможет мне быстрее справиться с заданием.
Ещё 4–5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов. В Древнем Китае мерой площади был прямоугольник.
Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приёмами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции.
Понятие площади нам известно из повседневного опыта. Каждый понимает смысл слов: площадь комнаты равна восемнадцати квадратным метрам, площадь приусадебного участка — шести соткам и т. д. можно сказать, что площадь многоугольника — это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Измерение площадей проводится с помощью выбранной единицы измерения. Измерение площадей с помощью палетки позволяет находить их значения с очень низкой степенью точности, как говорят, «в первом приближении».
Способ вычисления площади фигуры с помощью квадратной сетки
Приближённое измерение площадей можно производить с помощью палетки — квадратной сетки, нанесённой на прозрачную пластинку. При измерении подсчитывается число квадратиков (а значит, и их площадь), целиком содержащихся в фигуре, а также число квадратиков, частично входящих в измеряемую фигуру. Это число делится пополам. Суммируя эти числа, находят приближённое значение площади фигуры. Точность такого измерения невелика, но во многих случаях она устраивает измеряющего.
Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислить гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Это замечательная формула называется формулой Пика. Связь между площадью фигуры и количеством узлов, попавших в эту фигуру, особенно ясно видна в случае прямоугольника. Пусть ABCD — прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки. Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г — количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом: каждый из В узлы «контролирует» целую клетку смещённой сетки, каждый из Г-4 граничных не угловых узла — половину клетки, а каждая из угловых точек — четверть клетки
Поэтому площадь многоугольника S равна
Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу 
Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки! Это и есть формула Пика.
Теорема Пика появилась в сборнике работ Пика в 1899 году. Теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью. Формула Пика, или как считать площади многоугольников, полезна при решении задачи В4 ЕГЭ и 12 задачи ОГЭ.
Вычисление узлов
Площадь искомой фигуры можно найти по формуле: Ѕ= 
-1
Г — количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)
В — количество узлов внутри треугольника
Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.
Найдём площадь треугольника:
Отметим узлы: 
1 клетка = 1 см Г = 15 (обозначены красным) В = 34 (обозначены синим)
Найдём площадь параллелограмма:
Отметим узлы: 
Г = 18 (обозначены красным) В = 20 (обозначены синим)
Найдём площадь трапеции:
Отметим узлы: 
Г = 24 (обозначены красным) В = 25 (обозначены синим)
Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.
Теперь взгляните на следующие фигуры:
Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. Такие или подобные им есть задания на ЕГЭ и ОГЭ. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, найдём площадь фигуры:
Отметим узлы: 
Г = 11 (обозначены красным) В = 5 (обозначены синим)
На решение задачи затратили всего 1–2 минуты. Вычислять площадь по формуле Пика не только быстро, но и очень легко!
Но я задумалась, а можно ли доверять теореме Пика и получаются ли одинаковые результаты при вычислении площадей разными способами?
Я решила найти площади многоугольников по формуле Пика и обычным способом, применяя формулы геометрии и способы достроения или разбиения на части. Вот какие результаты я получила:
Мы снова получили одинаковые результаты.
При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника даже самой причудливой формы. Например:
Г=16, В=9 S=16:2+9–1=16
Итак, формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:
Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу: Ѕ= -1
– Формула Пика очень проста для запоминания.
– Формула Пика очень удобна и проста в применении.
– Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.
Эта формула экономит время при вычислениях площади фигуры. Учащиеся при вычислении площадей могут использовать любой способ.
Литература:
- Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24–25.
- Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2015–2019
- http://dic.academic.ru/ (Википедии — свободной энциклопедии).
- http://www.bymath.net (энциклопедия)
