Применение метода n прямых к решению некоторых задач



В статье, как указанo в названии, показано применение метода n -прямых к решению некоторых задач и получено много интересных результатов, которые не были ранее опубликованы.

Рассмотрим способ деления сторон треугольника пропорционально n-м степеням прилежащих сторон

Пусть, задан треугольник ABC с соответствующими сторонами a, b, c. Проведем прямую CD с вершины С к стороне AB . Предположим, что точка D делит сторону AB = с пропорционально n -м степеням боковых сторон AC=b и BC =a . То есть, если введем обозначения AD=p , DB=q , то будет

= => = .

А теперь применим метод n прямых к решению ниже указанных задач:

1) Получим общую формулу для длины линии n прямых. Для этого используем формулу Стюарта (см. рис. 1):

Как известно, тогда = — p . (1)

Рис. 1

По условию задачи пусть p=k , q=k .

Тогда, p + q= k ( + )= c, k = и p = , q = (2)

После подстановки этих значений в (1) получаем:

= = или

= (3)

Аналогичные формулы можно получить для двух других n прямых, проведенных соответственно, из вершин треугольника A и B :

= (4)

= (5)

Покажем, что из этих формул можно получить формулы для длин медианы, биссектрисы, симедианы и антибиссектрисы треугольника ABC . Действительно, при n=0 из формулы (4) получаем формулу медианы:

= = =

При n=1 получаем формулу биссектрисы:

= = =

= = , где p =

При n=2 получаем формулу для симедианы:

= =

При n= -1 получаем формулу для антибиссектрисы:

=

После некоторых преобразований получаем:

=

2) Используя метод n прямых, найдем некоторые формулы в вписанном четырехугольнике.

Предположим, , вписанный в окружность четырехугольник.

AC=b, BC=a, AB=c, A =

, B = , AN=p, BN=q, CN= , N= (рис.2).

Рис. 2.

Пусть =

= (6), где n — некоторое положительное действительное число.

Учитывая, что = , = , можно написать следующие формулы:

= , =

= = .

Откуда получаем = . Учитывая здесь формулу (6), можно получить = =

(7). С другой стороны, используя теорему синусов для треугольника ABC , можно написать следующие формулы:

= => = . Тогда = = = =>

= (8)

Соответствующим образом можно получить формулу = (9).

3) Выразим значения p, q, , и через длины a, b, c и n . Мы уже знаем, что p = , q = (смотри (2))

Из подобия треугольников ACN и B N (рис.2) Можно написать = = (10) или = = (11), =

= (12)

Из подобия треугольников BCN и A N получаем:

= = (13) или =

(14)

4) Определим степень если степень равно n. Пусть степень равняется . Тогда = = (рис.2). Откуда получаем:

=

; = (15). Учитывая формулы (15) в (8), получаем:

= = => + => => =

(16)

Следовательно, степень прямой равняется .

5) Определим степени прямых, находящихся на одинаковом расстоянии от высоты. Пусть СН является высотой, опущенной с вершины C в треугольнике ABC и точки (рис.3) находятся на одинаковом расстоянии от основании высоты точки Н. То есть, EH=HF=x .

Предположим:

AH = b = b = , где B =

BH = a = a = = , где A = .

Рис. 3.

Предположим, степень равна а степень равна . То есть , = . Тогда (17)

Здесь =

Из формулы (17) получаем:

x = (18)

С другой стороны из и из (18) получаем x = .

Пусть

= m, = n, тогда получаем:

(19)

Следует отметить, что m и n симметричные переменные, т. е. можно поменять их местами.

Тогда, из (19) можно получить:

где m = или

, где n =

(20)

6) Из всего бесконечного числа n прямых наиболее важное значение принимает тот случай, когда прямая перпендикулярна основанию треугольника. Чтобы отличить эту прямую от других, обозначаем степень этой прямой через k , определим пределы изменения этого числа и выразим его через n .

Рис. 4.

Предположим, дается треугольник ABC, где BC=a , AC=b , AB=c (рис.4).

Проведем из вершины С высоту СН и медиану СО. Тогда AO=OB= (рис.4), AH = b , BH = a , =

или (21)

С другой стороны, из (8) можно написать или

(22)

Разделив (22) на (21), получаем:

или n = k + (23)

Предположим: OH=x , тогда AH =

, BH = и

.

Упрощая последнее равенство, получаем:

(24)

Преобразуем равенство (25)

С другой стороны, из (24) получаем:

(26)

Приравнивая правые части (25) и (26) после преобразования, получаем:

или k = .

Установим к чему будет стремиться число k когда . Как известно, в том случае, если треугольник ABC равносторонний .

Вычислим следующий предел:

Так как, в равностороннем треугольнике a=c, то получаем k = 4, то есть при , .

Теперь выясним к чему стремится число k , если и .

Вычислим следующий предел:

.

Следовательно, в указанном случае

. Из (21) видно, что . Причем, при треугольник ABC — тупоугольный, при , треугольник прямоугольный, при треугольник остроугольный.

7) Изотомические и изогональные линии и связанные с ними формулы.

Как известно, две точки на стороне треугольника, равноудаленные от середины стороны, называются изотомическими точками. Две прямые, соединяющие вершину треугольника с изотомическими точками, лежащими на противоположной стороне, называются изотомическими. Две прямые, проходящие через вершину угла и образующие равные углы с биссектрисой угла, называются изогональными прямыми относительно сторон этого угла.

Прямые изогональные относительно углов треугольника -называются изогоналями треугольника. Также известно, что прямая изогональная прямой n , есть прямая ( 2 — n ).

Практически, чтобы найти прямую изогональную прямой n в треугольнике ABC , вокруг треугольника описываем окружность. Находим пересечение прямой n (прямая CN) с окружностью (точка Е ). (Рис. 5).

Рис. 5.

Далее проводим прямую EF, которая параллельна стороне AB. Так как она перпендикулярная, AB делит дугу пополам, то дуги и равны.

Следовательно, углы ∠ACF и ∠BCE равны.

То есть, прямые CE и CF изогональны и CP является биссектрисой треугольника ABC.

Кроме того, точки R и T являются изотомическими точками, и прямая CR является прямой ( 2-n ). Пусть, прямая CT — это прямая , тогда прямая CR будет прямой .

А теперь, напишем формулы для расстояния между точками пересечений изогональных и изотомический прямых с основанием треугольника. Предположим, как видно из рис.5. AR=

, R = , O = , ON = , NT = , TB = , y= . В связи громоздкости напишем для них формулы без доказательства:

AN = ,

,

= ,

, y = , , ,

,

, (27)

Следует отметить, что степень для прямой СТ определяется следующим образом.

откуда t = (28)

Тогда, степень для прямой CR равна ( -t ). Следует также отметить, что при n=2 , то есть для прямоугольного треугольника получаем , , (см. рис. 6)

Рис. 6.

8) А теперь, рассмотрим случай, когда прямая n проходит через центр окружности. (рис.7)

Предположим, в треугольнике ABC CN имеет степень , CH степень . Найдем связь между и . Пусть в треугольнике A B N имеет степень ,

степень

Рис. 7.

Тогда, используя формулу (22), можно написать:

Далее используя известную формулу:

=>

=

Мы получим = => (29)

Точно также, для треугольника A B можно написать:

=> =>

(30)

Можно также написать следующие формулы, которые нетрудно вывести:

, , , , , (31)

9) Из всех n прямых, наибольшее значение играет прямая для степени n которая выполняется равенством: (32)

Здесь В работе [3] нами было показано, что равенство (32) может выполнятся только в том случае, если числа a, b, c . Выполняют неравенство треугольника и n>1 . При этом для 1 получается тупоугольный треугольник, при n = 2 , прямоугольный при n>2 остроугольный треугольный. Следует отметить, что при данных условия значение n единственно. Для его определения поступаем следующим образом:

Рассмотрим функции и . Здесь функция в области определении монотонно убывающая, а функция монотонно возрастающая. Поэтому они пересекаются в единственной точке. Как известно в треугольнике n линии пересекаются в одной точке. Покажем, что эта точка всегда находится на средней линии, параллельной стороне AB=C. Используем формулу Менелая:

(33)

Здесь точка D является точкой пересечения n прямых.

Рис. 8.

Из формулы (2) мы знаем, что , .

Если учесть здесь формулу (32), получаем ,

(34)

Подставляя (34) в (33), получаем: Следовательно EF — это указанная средняя линия.

10) Учитывая важность значения n , при котором равенство выполняется, напишем все необходимые формулы, полученные из ранее полученных с учетом последнего равенства (32). Напишем все эти формулы бея выводов:

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

, (41)

(42)

, (43)

, (44)

, (45)

(50)

(51)

,

(52)

(53)

, (54)

или (55)

11). Пусть и . Оценим какие при этом значения может принять число n . Можно показать, что равенство имеет место только при n , то равенство невозможно, то есть мы придем к противоречию.

Действительно, как известно Тогда (56).

Используем неравенство Бернулли:

Если то

Следовательно, , так как по условию .

Тогда мы получаем:

(57)

Если (57) учесть в (56), то получаем . То есть, в этом случае мы проходим к противоречию и равенство невозможно. Следовательно n < c (58)

Далее, решим равенство (39), (40) относительно n . Тогда получаем:

(59)

(60)

Учитывая (59) и (60) в (58), получаем:

(61)

(62)

12) Покажем, что будет если n прямая (при выполнении ) совпадает с k прямой, то есть с высотой, при a, b, c.

Пусть, n=k , то есть . Тогда формула (35) преобразуется в следующий вид:

или (63)

Здесь имеем:

(64)

Подставляя (64) в (63), получаем:

(65)

Здесь . Так как, числа a, b, c удовлетворяют условию , то два из них должны быть нечетными, а одно из них должно быть четным числом. Тогда, значение выражения будет натуральным числом. С другой стороны, левая часть равенства (65) делится на с. Следовательно, правая часть также должна делиться на с. Так как

и не делятся на с, то равенство (65) возможно только при 2к-4=0 или при к=2 . Действительно при к=2 формула (65) преобразуется в вид:

.

Если упростить данное выражение получаем:

. (66)

Что и следовало ожидать.

То есть, это важно только в прямоугольном треугольнике. В этом случае:

n = k = 2 .

13) Теперь постараемся ответить на вопрос о рациональности или иррациональности числа k . Как известно, в прямоугольном треугольнике k = 2 является целом числом. Пусть n > k > 2 . Как известно из формулы (21)

(67)

Здесь, как мы уже отмечали, , .

Так как для выполнения равенства два из числа a, b, c должны быть нечетными, одно — четным. Тогда числители, выраженные для B и A, будут четными числами. Следовательно, A и B целые числа. Докажем неравенства и . Так как

и , то можно написать следующие неравенства: .

Следовательно, в этом случае .

Из последнего следуем, что .

Тогда получаем:

Следовательно, при n > k > 2 получаем:

,

Если в формуле , , то для того, чтобы из получить (т. е. из больших чисел меньшее) нужно, чтобы сократилась на целое число, то есть А это невозможно, так как a и b несократимые числа. k также не может быть рациональным числом. Следовательно, все значения k кроме k=2 являются иррациональными.

14) Найдем область изменения и покажем, что .

Как известно из (35):

.

Предположим, . Тогда .

Проведем следующие преобразования: .

Так как то и . При и . Следовательно, и . С другой стороны, известно, что . Так как, , то . Таким оброзом, мы получаем область изменения

в виде двойного неравенства (67). При этом, значение принимает в прямоугольном треугольнике, то есть при n=2 , .

15) Используя формулу (39), покажем, что иррациональное число. Предположим, что . Тогда, формула (39) приобретает вид:

(68)

Для того чтобы был рациональным, необходимо, чтобы являлся полным квадратом. А для этого, дискриминант

. Откуда или , что невозможно. Следовательно, иррациональные число.

Это можно увидеть из формул (41) и (43). Однако квадрат этих чисел рационален.

16) Как известно, [1,2] n прямые, проведенные с вершины с треугольника ABC , соответственно при i = 0,1,2, …, n — 1, n , и т. д. будут выглядеть как на рис.9.

Рис. 9.

Здесь, длина линии:

Здесь также расстояние (69)

Например, при i = 0 мы получаем: .

При i = 1, и т.д.

17) Если прямые CN и являются изогональными, то прямые CM и являются изотомическими.

Действительно, так как

, то эти дуги находятся между параллельными линиями AB и EF .

Рис. 10.

Следовательно, . Кроме того , .

18) Выразим угол через a, b, n и . с (рис.11)

Рис. 11.

В треугольнике ABC, по теореме синусов получаем:

.(70)

Эту же формулу можно получить из формулы (7).

Таким образом, в данной статье показано применение метода n прямых к решению некоторых вышеуказанных геометрических задач

Литература:

1. Зетель С. И. Сборник статей по элементарной и началам высшей математики. Математическое просвещение, серия 1.1, 1934, с.5–8
2. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. Москва, 1962, с.120–129
3. Elkhan Baylarov, Ilyas Hasanov. A Different Geometric Approach to the Proof of Fermat’s Last Theorem
4. Richard Kaufman. Limits on Legs of Pythagorean Triples and Fermat’s Last Theorem. The College Mathematics Journal, 51:1, 2020, 53–56, Doi:10.1080/07468342, 2020/1674620
5. Виктор Мещеряков. Электронные материалы. Прямые в треугольнике и Великая теорема Ферма. https://youtu . b e/ho MTCd8epMy , октябрь 2022
6. Wiles, Andrew. Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem. Annals of Mathematics, 141(3), 443–551, 1995
7. Paulo Ribenboim. Fermat’s Last Theorem for Amateurs — Springer. Department of Mathematics and Statistics. Queen’s University. Kingston. Ontario/ K7L3N6. Canada