Отображения матричных алгебр



В данной статье изучаются отображения алгебр квадратичных матриц четвертого порядка над алгебрах фон Неймана типа I, заданные с помощью отображения сохраняющей коммутативности, и определяется общий вид.

Ключевые слова: отображение, алгебра фон Неймана, коммутативность, матрица.

В теории операторов отображения играют важную роль при изучении алгебр операторов. Отображения, такие как изоморфизм, гомоморфизм, дифференцирование и автоморфизм различных алгебр операторов, определённых в гильбертовых пространствах, изучались в ряде исследований ([1]-[5]). Отображения сохраняющие коммутативность на различных алгебрах операторов изучались многими учеными ([2]-[4]), в которых одно из отображений в операторных алгебрах. В большинстве случаев было показано, что если отображение сохраняет коммутативность, тогда это отображение будет представлено изоморфизмом Йордана и аддитивным отображением.

Мы рассмотрим отображение алгебр квадратных матриц над алгебрах фон Неймана типа I, заданное с помощью отображения сохраняющей коммутативности.

Определение 1. Если для отображения между алгебрами и при выполняется равенство , то отображение

называется отображением сохраняющей коммутативности.

Определение 2. Если для отображения между алгебрами и выполняется отношение , то данное отображение называется двусторонне сохраняющей коммутативности.

Пусть — гильбертово пространство над полем комплексных чисел — алгебра всех ограниченных линейных операторов, действующих в

— тождественный оператор на .

Определение 3. -подалгебра содержащая тождественный оператор и замкнутая в слабой операторной топологии, называется алгеброй фон Неймана.

Пусть — некоторое подмножество алгебры

Коммутантом множества называется множество

Известно, что коммутант является унитальной подалгеброй алгебры Множество называется бикоммутантом множества и удовлетворяет и

Если является коммутантом алгебры фон Неймана то она удовлетворяет характеристическому равенству

Так как — замкнутое подмножество в равномерной топологии, то алгебра фон Неймана является -алгеброй [1].

Норму элемента (оператора) алгебры фон Неймана будем обозначать

Простейшими примерами алгебр фон Неймана являются алгебра и алгебра

всех скалярных кратных единичного элемента в

Множество

называется центром алгебры фон Неймана Легко видеть, что является коммутативной алгеброй фон Неймана.

Если то алгебра фон Неймана

называется фактором.

Обозначим через — решетку всех проекторов из алгебры фон Неймана

Если для проекторов и выполняются соотношения то говорят, что

Проекторы называются эквивалентными (обозначается

), если существует частичная изометрия для которой проектор является начальным, а проектор — конечным, т. е. Отношение “ ” является отношением эквивалентности на

Проектор из называется конечным , если из

следует, что

Алгебра фон Неймана называется

—конечной , если — конечный проектор;

— полуконечной , если каждый ненулевой проектор из содержит ненулевой конечный проектор;

— бесконечной , если

— не конечный проектор;

— собственно бесконечной , если каждый ненулевой центральный проектор из бесконечен;

— чисто бесконечной или типа III, если каждый ненулевой проектор из бесконечен.

Алгебра фон Неймана называется типа I, если она содержит точный абелев проектор (т. е. алгебра является коммутативной алгеброй фон Неймана). Это означает, что центральный носитель проектора (т. е. наименьший центральный проектор в

мажорирующий ) является тождественным оператором

Алгебра фон Неймана без ненулевых абелевых проекторов называется непрерывной .

Произвольная алгебра фон Неймана представима в виде прямой суммы алгебр фон Неймана типа (конечная типа ), типа (собственно бесконечная типа ), типа

(конечная непрерывная), типа (полуконечная, собственно бесконечная, непрерывная) и типа .

В работе [4] изучались отображения сохраняющие коммутативность на алгебрах фон Неймана не имеющие центральных слагаемых типа или , и ниже приведенная теорема является её основным результатом.

Теорема 1. ([4]). Пусть алгебры и являются алгебрами фон Неймана не имеющие центральных слагаемых типа или . Если биективное аддитивное отображение

двусторонне сохраняет коммутативность, то оно имеет вид , где — обратимый элемент, – изоморфизм Йордана, и – аддитивное отображение.

Пусть отображение между матричными алгебрами и над алгеброй фон Неймана не имеющие центральных слагаемых типа или , определяется формулой

(1)

где и — биективное аддитивное отображение двусторонне сохраняющие коммутативности. Мы имеем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть отображение между матричными алгебрами и , над алгеброй фон Неймана не имеющих центральных слагаемых типа или определяется формулой (1). Тогда существуют такой элемент

и отображения и определенные с помощью изоморфизма Йордана и аддитивное отображение соответственно, что отображение имеет вид

(2)

где элемент имеет вид ,

— обратимый элемент и отображение имеет вид ,

а отображение имеет вид .

Литература:

1. Муратов М. А., Чилин В. И. Алгебры измеримых и локально измеримых операторов. — Працi Iн-ту математики НАН Украïни, 2007. — 390 с.
2. Molnár L, Šemrl P. Non-linear commutativity preserving maps on self-adjont operators. Q. J. Math. 2005;56:589–595.
3. Brešar M, Šemrl P. Commutativity preserving linear maps on central simple algebras. J.Algebra. 2005;284:102–110.
4. M. Brešar, C. R. Miers, Commutativity preserving mappings of von Neumann algebras, Canad. J. Math. 45 (1993) 695–708.
5. Аюпов Ш. А., Кудайбергенов К. К., Каландаров Т. С., *-автоморфизмы алгебры Аренса ассоциированной с алгеброй фон Неймана типа I. // Узб. Мат. Жур. — Ташкент, 2007. — № 4. — C. 9–17.