Выражение дифференциального уравнения малых колебаний маятника-гасителя с помощью динамической теоремы Кориолиса



Рассмотрена возможность определения гироскопических давлений на подшипники при использовании инерционных динамических гасителей колебаний маятникового типа.

Ключевые слова: инерционные динамические гасители колебаний маятникового типа, гироскопические давления на подшипники.

Рассматривается опыт использования инерционных динамических гасителей колебания при действии на объект, установленный на упругом фундаменте, двух возмущающих сил с различными частотами. Решение этой проблемы достигается путем использования двух инерционных динамических гасителей колебаний, если их настроить на резонанс с частотами возмущающих сил. При этом исследуются дифференциальные уравнения движения для системы с тремя степенями свободы.

Центробежный регулятор вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью . Невесомые стержни центробежного регулятора длиной , на концах которых находятся маятники и массы , закреплены на вертикальной оси

с помощью цилиндрического шарнира .

Расчётная схема центробежного регулятора представлена на рис. 1.

В результате возмущений регулятор может быть выведен из равновесного состояния и представлен самому себе. При отклонении стержня регулятора на малый угол от положения относительного равновесия он начинает совершать малые колебания около этого положения с угловой скоростью (рис.2). При этом будем считать, что — угловая скорость вращения регулятора вокруг вертикальной оси остаётся неизменной (регулятор не соединён с машиной). Массой стержней и трением пренебречь. Маятники и принять за материальные точки.

Рис. 1. Расчётная схема центробежного регулятора

Максимальные гироскопические давления на подшипники можно определить по формуле:

,

(1)

где — расстояние между подшипниками и .

Так как маятник вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси , то будет существовать только нормальная сила инерции, равная по модулю

.

(2)

Три силы

, , , приложенные к точке можно рассматривать как находящиеся в равновесии. Составим векторное уравнение, выражающее принцип Даламбера для материальной точки

.

(3)

Спроектировав уравнение (3) на касательную к относительной траектории маятника

.

(4)

По отношению к подвижной системе отсчёта уравнение относительного движения материальной точки в векторной форме имеет вид:

,

(5)

где

— ускорение точки по отношению к системе ; — сила тяжести точки; — реакция стержня , направленная вдоль стержня; — центробежная сила инерции, направленная от центра вращения по прямой линии , величина которой вычисляется по формуле

;

(6)

— сила инерции Кориолиса, причём

,

(7)

где — масса маятника

; — вектор относительной скорости маятника .

Эта сила согласно правилу Жуковского направлена перпендикулярно к плоскости в сторону противоположную положительному направлению оси , так как вектор расположен на вертикальной оси , а вектор относительной скорости лежит в этой плоскости.

Спроектируем векторное уравнение (5) на касательную

(рис.1) к относительной траектории, имея в виду, что

; ; ;

; .

Получаем дифференциальное уравнение

.

(8)

После преобразований уравнения (8), учитывая, что имеем

.

(9)

Находим окончательно дифференциальное уравнение собственных малых колебаний маятника центробежного регулятора в относительном движении

.

(10)

Для нахождения угловой скорости , сначала перепишем уравнение (10) разделив переменные и учтя, что , а затем проведём замену переменных, для этого умножим обе части дифференциального уравнения на

.

(11)

Проинтегрируем

.

(12)

Откуда находим − угловую скорость собственного вращения маятника

.

(13)

Находим - момент инерции относительно собственной оси маятника (шара)

.

(14)

Итак, после подстановки (13) и (14) в формулу (1) находим максимальные гироскопические давления на подшипники при применении гасителя колебаний маятникового типа при прохождении стержнем

с маятником положения относительного равновесия.

(15)

Литература:

1. Комкин А. И. Вибрация. Воздействие, нормирование. Защита //Безопасность Жизнедеятельности. М: Изд. Новые Технологии. 2004..№ 5, приложение стр.47.
2. Серов М. В., Аверьянова Г. М., Александрова С. Г. Опыт применения теории колебаний к практическим вопросам применения инерционных динамических гасителей колебаний. Известия МГТУ «МАМИ» № 1(15), 2013, т. 3, с 118–124.