Спектральные разложения минимального квазидифференциального оператора

Получено спектральное разложение симметрического квазидифференциального оператора, порожденного обобщенной квазидифференциальной операцией.

1. Пусть - - матрица, где - комплекснозначных функций, определенные на и удовлетворяющих следующим условиям:

(1) в интервале для индексов, удовлетворяющих неравенствам ; (2) - локально суммируемы, т. е. для ;

(3) в промежутке для индексов.

Определим квазипроизводные следующим образом:

.

Этот подход к определению квазипроизводных и соответствующего формально самосопряженного квазидифференциального выражения предложен в работе [1]. Будем считать, что функции и их квазипроизводные до - го порядка включительно абсолютно непрерывны на любом компактном подынтервале промежутка . Поскольку в дальнейшем будем рассматривать только симметрические дифференциальные выражения, то предположим, что матрица , кроме требований (1), (2) и (3), удовлетворяет также условию симметричности , где - матрица, сопряженная к матрице , - символ Кронекера. Легко убедиться, что , где - натуральное число. Предположим, что матрица совпадает с матрицей , если натуральное число - четно, и с матрицами , если натуральное число - нечетно. Можно считать, что скалярное квазидифференциальное выражение , где - мнимая единица, порождается матрицей . Квазидифференциальная операция определяет минимальный замкнутый симметрический оператор в гильбертовом пространстве .

Для любых функций и , к которым применима квазидифференциальная операция , имеет место обобщенная формула Лагранжа

, (1)

где . Интегрируя почленно левую и правую части формулы Лагранжа (1), получим формулу Грина ,

где . Заметим, что , где - скалярное произведение в -мерном евклидовом пространстве. - вектор-столбец, составленный из квазипроизводных . С помощью матрицы тождество Лагранжа можно переписать в виде .

Теорема 1. Пусть- матрица, удовлетворяющая условиям (1) – (3). -квазидифференциальное выражение., где - положительная функция на . Тогда для любого , любого и любых , существует единственное решение , заданное на , начальной задачи .

Доказательство в целом повторяет рассуждения, приведенные в монографии [2].

Теорема 2. Пусть , , матрица , удовлетворяет требованиям (1) – (3) и условию симметричности. Тогда для любых комплексных чисел существует функция , принадлежащая области определения оператора , такая что

2. Построим квазисамосопряженные расширения минимального квазидифференциального оператора . Предположим, что индексы дефекта оператора равны. Зафиксируем какое-либо невещественное число . Пусть - линейный оператор, отображающий дефектное подпространство в дефектное подпространство . Квазисамосопряженным расширением оператора , определяемым оператором , называется оператор , являющийся частью оператора и имеющий своей областью определения линейное многообразие элементов , где . Если - оператор, сопряженный оператору , отображающий в , то соответствующие квазисамосопряженные расширения и являются взаимно сопряженными. Охарактеризуем область определения оператора при помощи краевых условий. Пусть - какой-либо ортонормированный базис дефектного подпространства , а - ортонормированный базис в . Пусть в этих базисах оператору соответствует матрица . Следовательно, . Рассмотрим систему вектор-функций , полагая . На основании формулы Лагранжа для принадлежности вектор-функции к линейному многообразию необходимо и достаточно выполнение условия

(2.)

для всех . Согласно определению квазисамосопряженного расширения , откуда, в силу определения функций , поскольку , имеем .

3. Как известно, каждой спектральной функции оператора отвечает некоторая обобщенная резольвента . При помощи формулы обращения Стилтьеса спектральная функция однозначно восстанавливается по соответствующей ей обобщенной резольвенте ; для любых функций и из и любых вещественных и имеет место равенство:

. (3)

Равенство (3) позволяет построить формулу всех спектральных функций оператора . Пусть - какая-либо обобщенная резольвента оператора и - ее характеристическая матрица. При любых вещественных определим матрицу формулой

. (4)

Формула (4) имеет смысл при любом вещественном и является неубывающей матричной функцией. Так как регулярна в верхней комплексной полуплоскости и , то формула (4) имеет смысл при любом вещественном и является неубывающей матричной функцией. Матрицу называют спектральной функцией распределения оператора , соответствующей обобщенной резольвенте .

Пусть - гильбертово пространство -мерных векторных функций , которые будем рассматривать как одностолбцевые матричные функции; скалярное произведение в пространстве определяется формулой .

Теорема 3. Для любой функции из пространства имеет место равенство , где ; а несобственный интеграл сходится в смысле метрики пространства .

Сначала предположим, что функция из обращается в нуль вне какого либо конечного отрезка . При любом невещественном положим . Пусть и - произвольные вещественные числа. Введем в рассмотрение функцию .

При любом и, в силу представления . С другой стороны, принимая во внимание, формулы для ядра обобщенной резольвенты, получим:

(5)

Для любого фиксированного второй интеграл в правой части этого равенства стремится к нулю при . Так как регулярная в верхней полуплоскости матричная функция с неотрицательной мнимой частью то, переходя в равенстве (5) к пределу при при любом фиксированном получим:

.

Итак, при имеет предел и в смысле слабой сходимости в , и в смысле сходимости всюду в промежутке . Но, как известно, оба этих предела совпадают, так что имеет место равенство: .

Умножая скалярно обе части последнего равенства на и меняя затем в правой части порядок интегрирования, получим

Переходя здесь к пределу при и , получим соотношение

.

Теорема доказана для любой вектор функции из пространства , обращающейся в нуль вне конечного отрезка .

Для любой функции из доказательство теоремы получается с помощью некоторого предельного перехода, расширяющего носитель функции [3,4,5].

Литература:

1. Everitt, W.N. Generalized symmetric ordinary differential expressions 1: The general theory / W.N. Everitt, A. Zettl // Nieuw Archief Vood Wiskunde, 1979. - V. 27, № 3. - P. 363 – 397.

2. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука, 1969. – 526 с.

3. Филиппенко В.И. Обобщенные резольвенты неплотно заданного квазидифференциального симметрического оператора // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, 5 – 11 сентября 2006 года, Ростов-на-Дону, изд-во ООО «ЦВВР», 2006. – С. 167 – 169.

4. Фетисов В.Г., Филиппенко В.И., Козоброд В.Н. Операторы и уравнения в линейных топологических пространствах. – Владикавказ: ВНЦ РАН, 2006. – 432 с.

5. Филиппенко В.И. Обобщенные спектральные функции квазидифференциального оператора // Укр. математический конгресс – 2009 / Киев: www.imath, kiev.ua/~congress 2009.