В 
рассмотрено построение уравнения разветвления (УР) по допускаемой им группе. В основе примененного там метода лежит известная схема из теории инвариантов, изложенная в 
. Здесь эта задача решается методами группового анализа дифференциальных уравнений 
при значительно меньшем объеме вычислительной работы. Терминология и обозначения из теории ветвления решений нелинейных уравнений те же, что в 
.
УР 
допускает группу G (инвариантно относительно G), если для некоторых ее представлений 
и 
(1)
Всюду ниже УР предполагается аналитическим, т. е. функции 
голоморфны в окрестности 
. УР будем называть вещественным, если 
коммутирует с операцией 
комплексного сопряжения. Не будем явно указывать зависимость от параметра 
, не являющуюся существенной для группового анализа. Поэтому следует считать, что коэффициенты построенных ниже систем разветвления являются аналитическими функциями малого параметра . Равенство (1) означает, что для рассматриваемой группы преобразований
(2)
многообразие 
в пространстве 
является инвариантным многообразием. Рассматривая 
— параметрическую группу преобразований (2), будем предполагать, что 
является неособым инвариантом многообразием, т. е. если 
— базис алгебры Ли группы (2), то ранг 
матрицы 
ν
(ν– номер строки, i, j — номера столбцов) на многообразии совпадает с ее общим рангом 
. Если теперь
(3)
— базисная система функционального независимых инвариантов группы (2), то, согласно
, многообразие можно представить в виде
и для построения общего вида УР должно быть выполнено условие rank 
независимости системы (3) по отношению к переменным . Это условие можно заменить требованием 
. Указанная схема построения инвариантных многообразий приводит к понижению порядка (редукции) УР с помощью полной системы функционально независимых инвариантов 
.
1. Группы SO (2) и O (2). Если УР 
допускает группу вращений 
, то
(далее будем использовать обозначение
).
Теорема. Двумерное УР, допускающее группу вращений SO (2), имеет вид
(4)
Если, кроме того, УР инвариантно относительно отражения 
, т. е. допускает группу O (2), то в (4) 
при всех k.
Действительно, инфинитезимальный оператор группы (2) имеет вид
,
а в полярных координатах
,
, откуда 
. Так как r*=1, то редуцированное с помощью системы инвариантов УР имеет вид 
, откуда следует
,
.
В силу аналитичности 
в окресности 
Полагая
, получаем (4), где 
. Инвариантность (4), относительно отражения J дает 
,
Следствие. УР (4), допускающее группу SO (2), потенциально, т. е.
, в том и только том случае, если оно, кроме того, инвариантно относительно отражения J.
Действительно, необходимое условие 
потенциальности векторного поля 
дает 
, т. е. . Если же, наоборот, , то
Для построения систем разветвления, допускающих кристаллографические группы, когда вещественное УР инвариантно относительно отражений, удобнее выполнить приведенные выше рассуждения в комплексных переменных
,(5)
.
Это поможет преодолеть технические трудности, связанные с учетом инвариантности УР относительно комплексного сопряжения. Тогда (см., например,
)
и, следовательно,
. (6)
Базис инвариантов можно выбрать в виде
.
Тогда система разветвления (неособое инвариантное многообразие) запишется следующим образом:
,
,
или, в силу ее аналитичности по 
––
(7)
В соответствии с теоремой. Дополнительная симметрия относительно отражения
дает .
Литература:
- Логинов Б. В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. Ташкент: Фан, 1985. 184 с.
- Дьедонне Ж., Керрол Дж., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 280 с.
- Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
- Овсянников Л. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1966. 131 с.
- Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.
- Вайнберг М. М.. Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 526 с.
- Гончар А. А., Шабат Б. В. Аналитическая функция. Аналитические функции нескольких комплексных переменных. Математическая энциклопедия. Е.1.М.: Советская энциклопедия. 1977. С.261–273.
