В работе рассматривается задача о представлений
натурального числа в виде суммы членов двух заданных
последовательностей U u
V, одно из которых является
достаточно редкой. В широком классе задач число представлений
натурального числа в виде суммы
(
)
принимает лишь значение 0 и 1. Несмотря на это, в данной работе
доказано, что число представлений не является ограниченным во многих
из таких задач.
In the work the following
problem is considered about notation of
the natural number in the form of the sum of the members of two
preset sequences u and v,
one of them is quite rare. In the wide class of problems the
represent able number of the natural number in the form of the sum of
u+ v,
()
takes only the value of 0 and 1. In addition in the present work it
is proved that the represent able number is not a limited one in the
many problems like that.
Число представлений натурального числа в виде суммы
членов двух последовательностей, одна из которых является достаточно
редкой, для большинства натуральных чисел в широком классе задач
принимает лишь значение 0 и 1. Несмотря на это, как будет показано в
данной работе, число представлений не является ограниченным во многих
из таких задач. Мы получили здесь
&#;
теоремы для числа представлений, дающие нижние оценки максимального
порядка роста этого числа.
Лемма 1. Пусть
и
&#;</FONT> произвольные последовательности
натуральных чисел,
<A HREF="images/2ce0b70d.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/2ce0b70d.gif" NAME="Объект7" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=52 HEIGHT=20></A>,
где
<A HREF="images/m3c1a4557.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m3c1a4557.gif" NAME="Объект8" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=40 HEIGHT=18></A>
<FONT FACE="Symbol">&#;</FONT> заданное целое число,
<A HREF="images/m534c1110.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m534c1110.gif" NAME="Объект9" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=66 HEIGHT=18></A>,
<A HREF="images/77db5848.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/77db5848.gif" NAME="Объект10" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=23 HEIGHT=18></A><FONT FACE="Symbol">&#;</FONT>
целое число, взаимно простое с <I>а</I>,<P>
<A HREF="images/m48bc2353.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m48bc2353.gif" NAME="Объект11" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=106 HEIGHT=34></A><P>
Тогда имеет место неравенство:
<A HREF="images/m2c5b703b.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m2c5b703b.gif" NAME="Объект12" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=75 HEIGHT=77></A><P>
<I><B>Доказательство</B></I>. Имеем<A HREF="images/m30e2127a.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m30e2127a.gif" NAME="Объект13" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=148 HEIGHT=76></A>
(1)
<P>С другой стороны,<P>
<A HREF="images/m9f01841.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m9f01841.gif" NAME="Объект14" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=56 HEIGHT=77></A>
(2)
<P>так как
<A HREF="images/4bea70d6.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/4bea70d6.gif" NAME="Объект15" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=70 HEIGHT=20></A>
при
<A HREF="images/61ba1587.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/61ba1587.gif" NAME="Объект16" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=44 HEIGHT=18></A>.
Сопоставляя (1) и (2.), получаем утверждение леммы.<P>
<I><B>Теорема 1.</B></I> Пусть
<A HREF="images/m3c1a4557.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m3c1a4557.gif" NAME="Объект17" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=40 HEIGHT=18></A><FONT FACE="Symbol">&#;</FONT>
целое число,
<A HREF="images/5617b99c.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/5617b99c.gif" NAME="Объект18" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=20 HEIGHT=18></A><FONT FACE="Symbol">&#;</FONT>
произвольная возрастающая последовательность натуральных чисел,
<A HREF="images/m63576cda.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m63576cda.gif" NAME="Объект19" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=43 HEIGHT=18></A>.
Тогда при
<A HREF="images/9244470.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/9244470.gif" NAME="Объект20" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=156 HEIGHT=28></A>
справедливо неравенство:<P>
<A HREF="images/4326c9a1.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/4326c9a1.gif" NAME="Объект21" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=284 HEIGHT=100></A><P>
Приведём несколько следствия теоремы
<P><I><B>Следствие 1.</B></I> Если
<A HREF="images/m69441841.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m69441841.gif" NAME="Объект22" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=151 HEIGHT=43></A>,
<A HREF="images/m31645bcb.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m31645bcb.gif" NAME="Объект23" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=73 HEIGHT=18></A>,
то число решений уравнения
<A HREF="images/65e04b23.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/65e04b23.gif" NAME="Объект24" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=67 HEIGHT=20></A>
<A HREF="images/m40bfa04b.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m40bfa04b.gif" NAME="Объект25" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=116 HEIGHT=20></A>
не ограничено по
<A HREF="images/76c18312.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/76c18312.gif" NAME="Объект26" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=18 HEIGHT=18></A>.<P>
<I><B>Следствие 2.</B></I><P>
<A HREF="images/76d23e5c.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/76d23e5c.gif" NAME="Объект27" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=124 HEIGHT=69></A>.<P>
Действительно, положим в теореме 1.
<A HREF="images/m11d9ea13.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m11d9ea13.gif" NAME="Объект28" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=43 HEIGHT=18></A>и
возьмем в качестве
<A HREF="images/5617b99c.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/5617b99c.gif" NAME="Объект29" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=20 HEIGHT=18></A>
последовательность простых чисел. Тогда согласно теореме 1<P>
<A HREF="images/m5cba4f4.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m5cba4f4.gif" NAME="Объект30" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=124 HEIGHT=69></A>.
(3)<P>
<I><B>Следствие 3.</B></I><P>
<A HREF="images/5ccff1b7.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/5ccff1b7.gif" NAME="Объект31" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=148 HEIGHT=88></A><I><B>.</B></I><P>
Действительно, полагая в теореме 1.
<A HREF="images/61c72f4d.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/61c72f4d.gif" NAME="Объект32" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=43 HEIGHT=18></A>
и беря в качестве
<A HREF="images/5617b99c.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/5617b99c.gif" NAME="Объект33" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=20 HEIGHT=18></A>
последовательность чисел имеющих ровно два простых делителя с учетом
кратности, получаем<P>
<A HREF="images/30d7c152.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/30d7c152.gif" NAME="Объект34" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=317 HEIGHT=76></A><P>
Отсюда, так же, как и выше, следует наше утверждение.<DL>
<DT>
<BR />
<DT>Литература:</DL>
<OL>
<LI><P>
<SPAN LANG="de-DE">Romanow N.P. Über limge </SPAN><SPAN LANG="de-DE">satze
der additiven Zahlentheorie, Math. Ann., 109 (1934) , 669</SPAN><SPAN LANG="en-US"><FONT FACE="Symbol">&#;</FONT></SPAN><SPAN LANG="de-DE">678.</SPAN><LI><P>
<SPAN LANG="sq-AL">Selberg S</SPAN><SPAN LANG="sq-AL"><B>.</B></SPAN><SPAN LANG="sq-AL">Note</SPAN><SPAN LANG="en-US">
</SPAN><SPAN LANG="sq-AL">on the distribution of the interes
<A HREF="images/m352daf2f.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m352daf2f.gif" NAME="Объект35" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=147 HEIGHT=23></A>.
Math. Naturwid., 50, 2(1949), 65</SPAN><SPAN LANG="sq-AL"><FONT FACE="Symbol">&#;</FONT></SPAN><SPAN LANG="sq-AL">69.</SPAN></OL>