Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 26 июля, печатный экземпляр отправим 30 июля
Опубликовать статью

Молодой учёный

Существенный спектр модельного трехчастичного оператора Шредингера на решетке

Математика
15.03.2018
90
Поделиться
Библиографическое описание
Мустафоева, З. Э. Существенный спектр модельного трехчастичного оператора Шредингера на решетке / З. Э. Мустафоева. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 11 (197). — С. 9-11. — URL: https://moluch.ru/archive/197/47213/.


Исследованию существенного спектра непрерывных и дискретных операторов Шредингера посвящены многие работы (см., например, и , соответственно). В работе доказано, что существенный спектр трехчастичного дискретного оператора Шредингера состоит из объединения не более чем конечного числа отрезков даже в том случае, когда соответствующий двухчастичный дискретный оператор Шредингера имеет бесконечное число собственных значений.

В настоящей работе рассматривается модельный оператор , ассоциированный с системой трех частиц на решетке. Описано местоположение существенного спектра оператора , т. е. выделены двухчастичная и трехчастичная ветви существенного спектра оператора .

Следует отметить, что двухчастичная и трехчастичная ветви существенного спектра трехчастичного непрерывного оператора Шредингера представляют собой полубесконечные прямые и пересекаются. В рассматриваемой нами ситуации непрерывного случая такие ветви существенного спектра оператора заполняют отрезки конечной длины, и они могут не пересекаться, т. е. возникает лакуна. Поэтому необходимо изучать ветви существенного спектра по обе стороны трехчастичной ветви. В работах [3,4], доказано, что рассматриваемые решетчатые операторы не имеют частей существенного и дискретного спектров правее трехчастичной ветви.

Пусть — мерный куб с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе рассматривается как абелева группа, в которой операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в по модулю , где ℝ и ℤ — множества всех вещественных и целых чисел, соответственно.

Пусть — гильбертово пространство квадратично — интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на и — гильбертово пространство квадратично — интегрируемых симметричных (комплекснозначных) функций, определенных на .

Рассмотрим трехчастичный модельный оператор , действующий в гильбертовом пространстве , по формуле

.

Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирований, — положительные числа, — вещественнозначные непрерывные функции на .

При этих предположениях оператор является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве .

Пусть — комплексная плоскость. При каждом фиксированном определим регулярную в функции

;

,

где числа и определяются равенствами

, .

Пусть множество тех точек , для которых равенство

имеет место хотя бы для одного и

, ;

, .

Видно, что при каждом фиксированном функция монотонно убывает на полуосях и . Поэтому при всех и верно . Следовательно, для любого функция имеет не более чем один простой нуль, лежащей левее . Отсюда следует, что

.

Следующая теорема описывает местоположение существенного спектра оператора .

Теорема. Для существенного спектра оператора имеет место равенство

.

Вводим новые подмножества существенного спектра оператора .

Определение. Множества и называются, соответственно, двухчастичной и трехчастичной ветвями существенного спектра оператора .

Замечание. Если нечетная функция, т. е.

при всех , то справедливо равенство

.

Очевидно, что если при всех , то из свойства монотонности интеграла Лебега следует, что и . Следовательно, в этом случае двухчастичная ветвь расположена левее трехчастичной ветви существенного спектра оператора . Если при всех , то из свойства монотонности интеграла Лебега следует, что и . В данном случае часть двухчастичной ветви существенного спектра расположено правее трехчастичной ветви существенного спектра оператора .

Если для функции имеет место неравенство

,

то и тем самим появляется часть существенного спектра оператора , правее трехчастичной ветви. Отметим, что появление двухчастичных ветвей по обе стороны трехчастичной ветви существенного спектра оператора играет важную роль при изучении конечности частей дискретного спектра, расположенных там, а также на лакунах существенного спектра.

Автор приносит благодарность к. ф.-м.н., доц. Т. Х. Расулову за постановку задачи и обсуждение результатов работы.

Литература:

  1. Г. М. Жислин. Исследование спектра оператора Шредингера для системы многих частиц. Труды Моск. матем. об-ва. 1960, Т. 9, С. 81–120.
  2. S.Albeverio, S. N. Lakaev, Z. I. Muminov. On the structure of the essential spectrum for the three-particle Schroedinger operators on lattices. Math. Nachr. 2007, Vol. 280, № 7, Pp. 699–716.
  3. S.Albeverio, S. N. Lakaev, R.Kh.Djumanova. The essential and discrete spectrum of a model operator associated to a system of three identical quantum particles. Rep. Math. Phys., 2009, Vol.63, no.3, pp. 359–380.
  4. S.Albeverio, S. N. Lakaev, Z. I. Muminov. On the number of eigenvalues of a model operator associated to a system of three — particles on lattices. Russian J. Math. Phys., 2007, Vol.14, no.4, pp. 377–387.
Можно быстро и просто опубликовать свою научную статью в журнале «Молодой Ученый». Сразу предоставляем препринт и справку о публикации.
Опубликовать статью
Молодой учёный №11 (197) март 2018 г.
Скачать часть журнала с этой статьей(стр. 9-11):
Часть 1 (стр. 1-111)
Расположение в файле:
стр. 1стр. 9-11стр. 111

Молодой учёный