Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 9 августа, печатный экземпляр отправим 13 августа
Опубликовать статью

Молодой учёный

Резольвента решетчатой модели «спин-бозон» не более чем с одним фотоном

Математика
15.03.2018
5
Поделиться
Библиографическое описание
Мустафоева, З. Э. Резольвента решетчатой модели «спин-бозон» не более чем с одним фотоном / З. Э. Мустафоева. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2018. — № 11 (197). — С. 7-9. — URL: https://moluch.ru/archive/197/47051/.


В хорошо известной модели светового излучения (так называемой модели “спин-бозон”, см. [1–3]) предполагается, что атом, который может находиться в двух состояниях — основном с энергией — и возбужденном с энергией , испускает и поглощает фотоны, переходя из одного состояния в другое. Оператор энергии такой системы обозначим через .

Задача о полном спектральном описании оператора представляется довольно трудной. В связи с этим будет естественно рассмотреть упрощенные (“урезанные”) модели, отличающиеся от модели тем, что возможное число фотонов в них ограничено и не превосходит . В настоящей работе рассматриваем случай . Гильбертовым пространством состояний такой модели служит пространство ℋ:=, где — двумерное комплексное пространство и гильбертово пространство квадратично — интегрируемых функций, определенных на -мерном торе со значениями в .

Рассмотрим оператор задающийся как блочно-операторная матрица

c матричными элементами

, ,

Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирований, , сопряженный оператор к , энергия фотона с импульсом , вещественная непрерывная функция на и — “параметр взаимодействия”. При этом есть непрерывная функция на и

.

В таких предположениях оператор является ограниченным и самосопряженным оператором в ℋ.

Можно показать, что

В непрерывном случае существенный спектр соответствующей модели состоит из полуоси , а в данном случае видно, что существенный спектр оператора есть объединение двух отрезков конечной длины, причем они не пересекаются при .

Определим регулярную в функцию

.

Установим связь между собственными значениями оператора и нулями функции .

Лемма 1. Число является собственным значением оператора тогда и только тогда, когда .

Из леммы 1 вытекает, что

Теперь опишем резольвенты оператора . Сначала отметим, что для спектра оператора имеет место равенство

.

При каждом фиксированном введем блочно-операторную матрицу размером 22, действующую в ℋ как

, (1)

где матричные элементы определяются равенствами:

,

.

Здесь .

Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.

Теорема 1. При каждом фиксированном резольвента оператора действует по формуле (1).

При доказательстве теоремы 1 используются элементы функционального анализа. Обычно с помощью детального исследования резольвенты доказывается существования соответствующего обратного волнового оператора.

Автор приносит благодарность к. ф.-м.н., доц. Т. Х. Расулову за постановку задачи и обсуждение результатов работы.

Литература:

  1. M. Huebner, H. Spohn. Spectral properties of spin-boson Hamiltonian. Annales de l`Institut Henri Poincare, 62:3 (1995), 289–323.
  2. R. A. Minlos, H. Spohn. The three-body problem in radioactive decay: the case of one atom and at most two photons. Topics in Statistical and Theoretical Physics, American Mathematical Society Translations-Series 2, 177 (1996), 159–193.
  3. H. Spohn. Ground states of the spin-boson Hamiltonian. Communications in Mathematical Physics, 123 (1989), 277–304.
Можно быстро и просто опубликовать свою научную статью в журнале «Молодой Ученый». Сразу предоставляем препринт и справку о публикации.
Опубликовать статью
Молодой учёный №11 (197) март 2018 г.
Скачать часть журнала с этой статьей(стр. 7-9):
Часть 1 (стр. 1-111)
Расположение в файле:
стр. 1стр. 7-9стр. 111

Молодой учёный