Представлена модель трехфазного асинхронного двигателя со статическим эксцентриситетом ротора; проанализирован гармонический состав тока статора при эксцентриситете ротора, выявлен диагностический критерий.
Ключевые слова: асинхронный двигатель, эксцентриситет ротора, спектр фазного тока.
Эксцентриситет ротора — достаточно часто встречающаяся на практике причина выхода из строя электрических машин. Эксцентриситет ротора вызывает периодическое изменение плотности электромагнитного поля в зазоре машины, тем самым изменяя тяговое усилие от минимума (при максимальном воздушном зазоре) до максимума (при минимальном воздушном зазоре). Данное обстоятельство вызывает дополнительные вибрации машины, негативно влияющие, прежде всего, на подшипники.
Рис. 1. Эксцентрично расположенный ротор
Зазор в такой машине можно представить в следующем виде:
(1)
где R, r — радиусы расточки статора и ротора соответственно; 
– воздушный зазор между статором и ротором; d — смещение осей статора и ротора, вызванное эксцентриситетом; θ — угол положения рассматриваемого радиального сечения ротора; относительный эксцентриситет ротора [1]:
(2)
С изменением величины зазора меняется удельная магнитная проводимость ротора в соответствии с выражением:
(3)
где 
– коэффициент Картера; 
– магнитная постоянная.
Таким образом, зависимость главной взаимной индуктивности от угла θ приобретает следующий вид:
(4)
где 
– главная взаимная индуктивность при отсутствии эксцентриситета.
Индуктивности обмоток статора и ротора, соответственно:
(5)
(6)
Рассмотрим известную математическую модель асинхронного двигателя (7) — уравнения обобщенной машины, записанные через потокосцепления в системе координат αβ [2]. При наличии статического эксцентриситета ротора элементы дифференциальных уравнений содержат периодически изменяющиеся значения индуктивностей. Такая особенность системы уравнений требует пересчета индуктивностей для каждого положения ротора.
(7)
Модель двигателя с эксцентриситетом ротора получаем заменой соответствующих индуктивностей в системе (7) на выражения (4–6). Модель реализуем в системе Matlab 7.8 с использованием базового инструментария Simulink.
При реализации модели были приняты следующие допущения:
1. Зазор между статором и ротором гладкий (не учитывается зубчатость магнитопроводов);
2. Магнитная система электрической машины ненасыщена.
Элементы системы дифференциальных уравнений представляем в виде соответствующих блоков и структур. Так выражение (4) примет следующий вид:
Рис. 2. Блок, реализующий зависимость главной взаимной индуктивности от угла θ
Рис. 3. Блок, реализующий зависимость индуктивности обмотки статора от угла θ
Функция (5) реализована блоком, изображенным на рис. 3. Аналогично можно представить функцию (6). Из подобных блоков набираются коэффициенты в системе дифференциальных уравнений асинхронного двигателя (а1 — a14).
В результате мы имеем модель, позволяющую исследовать работу двигателя при различной величине статического эксцентриситета ротора. Ограничим объем модели расчетом только проекции тока статора на ось α, соответствующей току статора в фазе А.
Рис. 4. Модель асинхронного двигателя со статическим эксцентриситетом ротора
В модели задаются проекции напряжения обмотки статора usα на ось α и usβ на ось β, величина относительного эксцентриситета ecc и статический момент нагрузки Mc.
В модели регистрируются следующие величины: ток статора isα в фазе А, скорость вращения ротора ωr, электромагнитный момент М.
Система, представленная на рис. 4, содержит подсистему Subsystem (см. рис. 5), решениями которой являются проекции потокосцеплений. Потокосцепления в основной системе дают решение — искомые функции.
Разработанная модель двигателя с эксцентриситетом ротора позволяет рассматривать как установившийся режим работы, так и переходные процессы, также возможно добавление в модель нестационарной нагрузки.
Рис. 5. Подсистема Subsystem
Рис. 6. Осциллограмма тока статора в фазе А
На рис. 7 представлен спектр тока статора в фазе А при номинальной нагрузке и относительном эксцентриситете ecc=0,8. На спектре видно, что при статическом эксцентриситете ротора имеют место гармоники, сдвинутые на одинаковый шаг относительно основной. Согласно [3], частоты данных гармоник могут быть вычислены по выражению (8).
, Гц, (8)
где f1 = 50Гц — частота сети; s– скольжение двигателя в исследуемом режиме работы; p — число пар полюсов.
Рис. 7. Спектр тока статора в фазе А
Таким образом, разработанная модель предоставляет возможность изучения влияния статического эксцентриситета на потребляемый ток, электромагнитный момент и скорость вращения. Полученные данные о спектральном составе тока статора при эксцентриситете ротора показывают, что амплитуды составляющих тока на частотах fecc могут служить диагностическим критерием оценки эксцентриситета ротора. Диагностика эксцентриситета является одной из мер повышения надежности электродвигателя.
Литература:
1. Геллер Б. Высшие гармоники в асинхронных машинах /Б. Геллер, В. Гамата/ Пер. с англ. под ред. З. Г. Каганова. — М.: «Энергия», 1981. — 352 с.
2. Копылов И. П. Математическое моделирование электрических машин / И. П. Копылов. — М.: Высшая школа, 2001. — 327 с.
3. Dynamic Analysis of Mixed Eccentricity Signatures at Various Operating Points and Scrutiny of Related Indices for Induction Motors / J. Faiz, B. M. Ebrahimi, B. Akin, H. A. Toliyat // IET Electric Power Applications. — 2010. — Vol.4. — P.1–16.
