В работе рассматривается задача об оценке снизу
плотности представимых чисел в бинарной аддитивной задаче о сложении
последовательностей натуральных чисел U
u V
в случае, когда U u
V подмножества аддитивной
абелевой группы
.
Показано, что наряду с тождеством Романова для группы
справедливы
также аналоги неравенств Романова-Шнирельмана и Романова-Эрдеша.
The work considers the issue of lower-bound estimate of density of represented numbers in a binary additive task on addition of sequences of natural number U and V in case where U and V are a subset of additive Abelian group G. It has been shown that along with Romanoff identical equation for group G analogues of Romanoff-Shnirelmann and Romanoff-Erdos inequalities are also correct.
В 1934-году Н.П.Романов [1] заметил, что оценки снизу плотности представимых чисел в бинарной аддитивной задаче о сложении последовательностей U u V можно свести к верхней оценки выражения
При таких обозначениях величин R и P из (1) с помощью
неравенства Коши-Буняковского получаем неравенства
,
(неравенства Романова- Шнирельмана)и
(неравенства Романова-Ердоша)
(здесь N-число целых чисел промежутка[1,х],
представимых в виде u+v,
-число
целых чисел промежутка[1,х], однозначно представимых в виде
u+v,Отметим
прежде всего, что тождество Романова можно обобщить на любую
аддитивную группу.Пусть
- аддитивная абелева группа,
и
- какие-либо подмножества группы
,
- некоторое конечное множество пар
где
Для каждого
обозначим через
- число представлений элемента
в виде суммы
где
Заметим для дальнейшего, что наряду с тождеством Романова для
аддитивной группы
справедливы также аналоги неравенств Романова-Шнирельмана и
Романова-Эрдеша. Действительно, в силу неравенств Коши
Отсюда и из тождества Романова следует
(аналог неравенства Романова-Шнирельмана). Далее,
(аналог неравенства Романова-Эрдеша). В интересующем нас случае для
величины
и
получаем
следующие оценки:
- Литература:
- Romanow N.P. Über limge satze der additiven Zahlentheorie, Math. Ann., 109 (1934) , 669&#;678.
- Шнирельман Л.Г. Об аддитивных свойствах чисел.&#;</FONT> Изв. Донского политехнического института,1 ч, 1930, 3<FONT FACE="Symbol">&#;</FONT>28.<LI><P> <SPAN LANG="sq-AL">Erdöş P. On additive properties of aquares of primes, Konikl Nederland Aad. Amst., 41.1 (1938), 37</SPAN><SPAN LANG="sq-AL"><FONT FACE="Symbol">&#;</FONT></SPAN><SPAN LANG="sq-AL">41.</SPAN></OL>