Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 12 июля, печатный экземпляр отправим 16 июля
Опубликовать статью

Молодой учёный

Аналог проблемы Гольдбаха-Эйлера для группы zm

14. Общие вопросы технических наук
93
Поделиться
Библиографическое описание
Оразов, Мамед. Аналог проблемы Гольдбаха-Эйлера для группы zm / Мамед Оразов. — Текст : непосредственный // Современные тенденции технических наук : материалы I Междунар. науч. конф. (г. Уфа, октябрь 2011 г.). — Уфа : Лето, 2011. — С. 64-65. — URL: https://moluch.ru/conf/tech/archive/5/945/.

В данной работе рассматривается задача, аналогичная проблеме Гольдбаха−Эйлера для группы классов вычетов по модулю , принадлежащих некоторым заданным подмножествам группы (− группа, образованная множеством приведенных классов вычетов по заданному модулю ). Исходя из того, что все простые числа за исключением простых делителей , находятся в примитивных классах вычетов по модулю , то вопрос о представлении классов вычетов по модулю в виде суммы двух примитивных классов вычетов можно рассматривать как аналог бинарной проблемы Гольдбаха для группы . Получена точная формула для числа представлений натурального числа в виде суммы двух примитивных классов по модулю .

In the given work the problem similar to problem ГольдбахаЭйлера for group of classes of deductions on module , belonging to some set subsets of group ( − the group formed by set of resulted classes of deductions on set module ) is considered. Recognising that all simple numbers except for simple dividers , are in primitive classes of deductions on module the question on representation of classes of deductions on module in the form of the sum of two primitive classes of deductions can be considered as analogue of binary problem Гольдбаха for group . The exact formula for number of representations of natural number in the form of the sum of two primitive classes on module is received.

Здесь мы рассмотрим аналогичную задачу проблемы Гольдбаха&#;Эйлера для группы классов вычетов по модулю m. А именно задачу о представлении класса вычетов по модулю m в виде суммы нескольких классов вычетов по модулю m принадлежащих некоторым заданным подмножествам группы zm.

Гольдбах (1742 г.) высказал предположение (бинарная проблема Гольдбаха), что любое число &#&#61619;;</FONT> 4 можно представить в виде суммы двух простых чисел.<P> В курсе теории чисел доказывается, что множество приведенных классов вычетов представляет собой группу, то есть для множества приведенных классов вычетов по любому модулю <A HREF="images/7fcd3607.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/7fcd3607.gif" NAME="Объект21" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=22 HEIGHT=18></A> выполняются все условия группы. Эта группа является коммутативной и конечной группой.<P> Так как все простые числа за исключением простых делителей <A HREF="images/7fcd3607.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/7fcd3607.gif" NAME="Объект22" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=22 HEIGHT=18></A> находятся в примитивных классах по модулю <A HREF="images/7fcd3607.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/7fcd3607.gif" NAME="Объект23" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=22 HEIGHT=18></A>, причем имеются в каждом классе вычетов по модулю <A HREF="images/7fcd3607.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/7fcd3607.gif" NAME="Объект24" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=22 HEIGHT=18></A>, то вопрос о представлении классов вычетов по модулю <A HREF="images/7fcd3607.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/7fcd3607.gif" NAME="Объект25" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=22 HEIGHT=18></A> в виде суммы двух примитивных классов вычетов можно рассматривать как аналог проблемы Гольдбаха<FONT FACE="Symbol">&#&#61485;;</FONT>Эйлера для группы <A HREF="images/551e5e3a.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/551e5e3a.gif" NAME="Объект26" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=26 HEIGHT=21></A>.<P> В отличие от классической проблемы Гольдбаха<FONT FACE="Symbol">&#&#61485;;</FONT>Эйлера этот ее аналог для группы <A HREF="images/551e5e3a.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/551e5e3a.gif" NAME="Объект27" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=26 HEIGHT=21></A> решается полностью.<P> Пусть <A HREF="images/mf0fa213.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/mf0fa213.gif" NAME="Объект28" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=18 HEIGHT=18></A><FONT FACE="Symbol">&#&#61485;;</FONT> целое число. Обозначим через <A HREF="images/634d48dc.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/634d48dc.gif" NAME="Объект29" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=92 HEIGHT=21></A> число представления натурального <A HREF="images/mf0fa213.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/mf0fa213.gif" NAME="Графический объект1" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=15 HEIGHT=16 BORDER=0></A> в виде суммы двух примитивных вычетов по модулю <A HREF="images/7fcd3607.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/7fcd3607.gif" NAME="Объект30" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=22 HEIGHT=18></A>, то есть число решений сравнения<P> <A HREF="images/ma35b36d.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/ma35b36d.gif" NAME="Объект31" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=118 HEIGHT=20></A><P> в примитивных вычетах <A HREF="images/3e2f2989.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/3e2f2989.gif" NAME="Объект32" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=18 HEIGHT=18></A> и <A HREF="images/f40a16e.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/f40a16e.gif" NAME="Объект33" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=19 HEIGHT=18></A>.<P> Имеем<SPAN LANG="tk-TM">:</SPAN><P> <A HREF="images/m7817fd10.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m7817fd10.gif" NAME="Объект34" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=439 HEIGHT=101></A><P> где <A HREF="images/m5a6c4e4.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m5a6c4e4.gif" NAME="Объект35" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=59 HEIGHT=20></A><FONT FACE="Symbol">&#&#61485;;</FONT> число решений сравнения <A HREF="images/7d721378.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/7d721378.gif" NAME="Объект36" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=141 HEIGHT=18></A>; <A HREF="images/7126190e.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/7126190e.gif" NAME="Объект37" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=40 HEIGHT=20></A><FONT FACE="Symbol">&#&#61485;;</FONT> функция Мёбиуса определяется равенством<P> <A HREF="images/m5ca8c09d.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m5ca8c09d.gif" NAME="Объект38" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=185 HEIGHT=99></A><P> <A HREF="images/mfaf8571.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/mfaf8571.gif" NAME="Объект39" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=96 HEIGHT=21></A><FONT FACE="Symbol">&#&#61485;;</FONT> различные простые числа.<P> В силу мультипликативности функции <A HREF="images/m5a6c4e4.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m5a6c4e4.gif" NAME="Объект40" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=59 HEIGHT=20></A> по первому аргументу, отсюда следует<P> <A HREF="images/m6c3298e0.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m6c3298e0.gif" NAME="Объект41" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=187 HEIGHT=43></A><P> Из определения функции <A HREF="images/m5a6c4e4.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m5a6c4e4.gif" NAME="Объект42" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=59 HEIGHT=20></A> следует, что <P> <A HREF="images/2b99ff2a.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/2b99ff2a.gif" NAME="Объект43" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=118 HEIGHT=93></A><P> Поэтому<P> <BR /> <P><A HREF="images/m45f0f488.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m45f0f488.gif" NAME="Объект44" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=58 HEIGHT=69></A><A HREF="images/m3cf4e9d2.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/m3cf4e9d2.gif" NAME="Объект45" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=58 HEIGHT=69></A><A HREF="images/52cd35a6.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/52cd35a6.gif" NAME="Объект46" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=64 HEIGHT=69></A><P> Таким образом, мы получили точную формулу для числа представлений натурального числа <A HREF="images/mf0fa213.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/mf0fa213.gif" NAME="Объект47" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=18 HEIGHT=18></A> в виде суммы двух примитивных классов вычетов по модулю <A HREF="images/7fcd3607.gif" TARGET="_blank"><IMG src="https://articles-static-cdn.moluch.orgimages/7fcd3607.gif" NAME="Объект48" ALIGN=ABSMIDDLE WIDTH=22 HEIGHT=18></A>.<DL> <DT> <BR /> <DT>Литература:</DL> <OL> <LI><P> Маршал Холл. Теория групп.<FONT FACE="Symbol">&#&#61485;;</FONT>М.: Иностранная литература, 1962.<LI><P> Бухштаб А.А. Теория чисел.<FONT FACE="Symbol">&#&#61485;;</FONT> М.: Просвещение, 1966.<LI><P> Гельфонд А.О., Линник Ю.В. Элементарные методы в аналитической теории чисел.<FONT FACE="Symbol">&#&#61485;;</FONT> М., 1962.</OL>

Можно быстро и просто опубликовать свою научную статью в журнале «Молодой Ученый». Сразу предоставляем препринт и справку о публикации.
Опубликовать статью

Молодой учёный