Рассмотрена краевая задача для неоднородного уравнения теплопроводности с нагрузкой в виде дробного интеграла Римана-Лиувилля порядка , где . Обращением дифференциальной части задача сведена к интегральному уравнению с ядром со специальной функцией. Специальная функция представлена в виде обобщенной гипергеометрической функции. Исследованы предельные случаи порядка дробной производной. Произведена оценка ядра интегрального уравнения. Получены условия разрешимости интегрального уравнения.

Ключевые слова: дробное исчисление, краевые задачи .

I. Необходимые сведения из теории дробного исчисления и специальных функций

Определение 1. Пусть Тогда интеграл:

где называется дробным интегралом Римана-Лиувилля порядка

[1]

Замечание 1. Достаточным условием существования дробного интеграла является условие .

Замечание 2. Известно, что [2] для первой краевой задачи в области при условиях:

при

при

дифференциальное уравнение вида:

имеет решение:

где

.

Определение 2. Обобщённым гипергеометрическим рядом [3] называется ряд:

где — символ Похгаммера.

Определение 3. Функция в виде ряда

при совпадает с функцией Райта:

II. Постановка задачи.

В области найти решения уравнения:

(1)

Далее подробнее остановимся на самом понятии существования дробной производной.Пусть для простоты . Говоря, что = (d/dx) существует почти всюду, мы должны учитывать следующие. Известно, что существование у функции g(x) суммируемой производной почти для всех x еще не обеспечивает восстановления g(x) через первообразную, т. е. Более того существует монотонная непрерывная функция g const, для которой почти всюду (мы уже говорили об этом при доказательстве теоремы 2.1). Эти «экзотические» явления устраняются, если иметь дело с абсолютно непрерывными функциями (напомним, что и интегрирования по частям в интеграле Лебега возможно, вообще говоря, лишь на абсолютно непрерывных функциях; это уже использовалось при доказательстве теоремы 2.3).

Из сказанного ясно, что предположения «дробная производная существует почти всюду и суммируема» недостаточно для построения удовлетворительной теории, т. е. недостаточно для предствимости f(x) в виде дробного интеграла порядка α. Нужно вложить в это предположение более сильный смысл. Для этого введем

Определение 2.4. Пусть Re>0 . Будем говорит, что функцияf(x)Ꞓ имеет суммируемую дробную производную если

Другими словами, этим определением введено понятие, используещее только первое из двух условий (2.55), (2.56) описывающих класс

Замечание 2.2. Если = существует в обычном смысле, т. е. дифференцируема до порядка n в каждой точке, то очевидно, f(x) имеет производную ы смысле определения 2.4.

Мы сочли необходимым подробно остановится на приведенных соображениях и, в частности, на определении 2.4. поскольку смешение двух понятий (существование дробной производной и представимость функции дробным интегралом), а также нечеткое толкование первого из этих понятий приводило к ошибкам в работах многих авторов.

Следующая теорема, основная в этом пункте, отражает вопрос, вынесенный в заголовок.

Теорема 2.4. Пусть Reα>0. Тогда равенство

=φ(x) (2.57)

выполнятется для любой суммируемой функции φ(x), a равенство

f(x) (2.58)

— для фунции

f(x)Ꞓ . (2.59)

Если вместо (2 .59) предположить, что функция f(x)Ꞓ имеет суммируемую производную (в смысле определения 2.4), то (2.58), вообще говоря, неверно и заменяет формулой

f(x)- (2.60)

Где n= и В частности, при 0 <re<1 <="" p=""> </re<1>

(2.61)

Доказательство. Имеем

Меняя порядок интегрирования, после вычисления внутреннего интеграла получаем

(2.62)

и тогда из (2.62) ввиду (2.16) следует (2.57).

Далее (2.58) при условии (2.59) вытекает незамедлительно из (2.57) (отметим также, что (2.58) фактически было получено при доказательстве достаточной части теорема 2.3, только на этот раз внеинтегральные слагаемые не будут исчезать и дадут дополнительную сумму в (2.60).

Следствие 1. Справедлив следующий аналог формулы Тейлора:

f(x)= Reα>0, (2.63)

где , в предположении, что f(x)имеет суммируемую производную (в смысле определения 2.4).

Действительно, формула (2.63) есть очевидная перефразировка свойства (2.60).

Отметим еще, что некоторые обобщение формулы (2.60) приведено в §4, п.2,2.8,

Следствие 2. Справедлива формула

0 <reα<1, (2.64)="" <="" p=""> </reα<1,>

называемая как и (2.20), формулой дробного интегрирования по частям.

Предполагается, что f(x)Ꞓ , f(x)Ꞓ ,

Действительно, (2.64) следует из (2.20), если положить и учесть(2.58).

Простое достаточное условие на функции f(x), g(x) для выполнимости (2.64) состоит в том, чтобы f(x),g(x)ꞒC существовали в каждой точке xꞒ и были непрерывны. Позже, в §14 в следствии из теоремы 14.4 укажем менее ограничительные достаточные условия.

(2)

III Сведение задачи (11)-(12) к интегральному уравнению: В силу замечания 2 задача (1) — (2) сводится к интегральному уравнению

(3)

где

(4)

(5)

Здесь обобщенный гипергеометрический ряд, сходится для всех конечных Функция Грина краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Рассмотрим дифференциальное уравнение.

Lx≡

где q(t) и h(t)-непрерывние на функциию.

Пусть ищется решение x(t) уравнения (6), удовлетворяющее (для простоты) краевым условиям

X(a)=x(b)=0. (7)

Определение. Функцией Грина G(t,s) краевой задачи (6)-(7) называется функция двух переменных, определенная в квадрате a≤t,s и такая, что

при t˂s и t>s, т. е. G(t,s), как функция t, удовлетворяет при указанных значениях t и s уравнению (6).

G(t,s) удовлетвояет поставленным граничным условиям G(a,s)=0, G(b,s)=0 для a˂s˂b. G(t,s) непрерывна при t=s: G(s+0,s)=G(s-0,s). Производная t=s t=s претерпевает скачок:

в точке t=s и имея в виду правило диффкркнцирования единичной функции Ꝋ(t-s) заключаем, что

(8)

Где δ(t-s)-δ-функция, классическая (обычная) вторая производная функции Грина.

Поэтому условия 1) и 4) можно заменить условием

(9)

Таким образом, функция Грина имеет простой физический смысл. Это решение задачи для единичного точечного источника:

h(t)=δ(t-s).

Теперь можно сразу написать решение краевой задачи (6)-(7) с помощью функции Грина. Именно, решение краевой задачи (6)-(7) дается формулой

x(t)= (10)

В самом деле, в силу условия 2) на функцию Грина функция x(t), определяемая формулой (10), удовлетворяет граничным условием (2).

Далее,

Так что функция x(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению(1).

III. Исследование предельных случаев

Показано, что для краевой задачи (1) — (2) имеет место непрерывность по порядку дробной производной в нагруженном слагаемом уравнения задачи.

IV Оценка ядра интегрального уравнения

Если при для ядра (4) имеет место оценка

(11)

Поскольку: и то можно сделать вывод, что интегральное уравнение (8) однозначно разрешимо в классе непрерывных функций при любой непрерывной правой части (11).

Литература:

1. Псху, А. (2005). Уравнения в частных производных дробного порядка. Москва: Наука.
2. Полянин, А. (2001). In Справочник по линейным уравнениям математической физики (p. 57). Москва: Физико-математическая литература.
3. Ю.Люк. (1975). In Специальные математические функции и их аппроксимации (p. 163). New York: Academic press.