В работе приведен метод построения двух точек в 8-ми октантах в пространственной системе координат и в плоскости — эпюры. Описана схема построения данных по численным значениям двух точек. Приведены графические примеры построения этих точек.
Ключевые слова:октант, точка, плоскость, горизонталь, фронталь, профиль, система, координата, ось, эпюра, проекция, ортогональ.
При проведении занятий по разделу «Точки в четвертях и октанта пространства» задается в качестве примера одна точка по проецированию точки в различных положениях квадранта плоскости проекции [1]. Нами предлагается для лучшего усвоения темы задавать в различных октантах по две точки, например, 
и 
. Одну точку 
задаём постоянной величиной координат, например, точку 
, которая располагается в пространстве над плоскостями 
, 
, 
системы, а другую точку 
по переменной величине, которая находится во фронтальной или горизонтальной (профильной) плоскостях, т. е. в первом октанте задаются численные значения — 
; во втором октанте — 
и т. д. Здесь даем некоторое их пояснения, т. к. точка является абстрактной величиной, то не имеет размеров, поэтому показывается на чертеже в виде кружочки. Также объясняем, что точка может быть каким-нибудь геометрической фигурой (шар, цилиндр) или деталем узла механизма: подшипником, колесом, сателлитом, т. е. точка является каким-то условным понятием в начертательной геометрии.
При решении задачи, студентам показываем макет пространственной системы координат с 8-ю октантами (рисунок 1, а) и объясняем их суть: показываем точку на первом октанте с белой отметкой, а другую точку — с красной отметкой, в дальнейшем при переходе на второй октант располагаем точку — по координатной оси с белым цветом, а точку — красным цветом и т. д. вплоть до 8-го октанта. Затем показываем расположение точек и в эпюре (рисунок 1, б), здесь полы макета пространственной системы является подвижными, вращая переднюю полу горизонтальной плоскости вокруг оси 
, горизонталь опускаем вниз до вертикальной линии, которая совмещается с фронтальной плоскостью 
, при этом задняя часть горизонтальной плоскости 
поднимается вверх до совпадении с фронтальной плоскостью . Также происходит изменения и с профильной плоскостью , передняя часть плоскости при вращении вокруг оси 
направо совпадает с фронтальной плоскостью , а задняя часть профильной плоскости 
вращаясь налево совпадает с фронтальной плоскостью .
На рисунке 2 и 3 показаны примеры проецирования двух точек и в различных октантах пространственной системы координат и в эпюре, например:
1. По заданным численным значениям находим точку , которая находится в первом октанте (рисунок 2, а, б), здесь горизонтальная проекция 
точки расположена под осью , вертикальная проекция 
— над осью , а профильная проекция 
над осью 
. Точку задаем другим численным значением . Здесь точка принадлежит фронтальной плоскости и расположен на верхней полуплоскости так что вертикальная проекция 
располагается над осью , а горизонтальная проекция 
лежит на оси , поскольку проектирующий луч совпадает с плоскостью . Также, только на другой оси лежит профильная проекция 
.
Рис. 1. Пространственная (а) и плоскостная (б) модель октантов.
Все точки и 
равномерно расположены во всех трех четвертях проекции эпюры. При совмещении плоскостей проекций надо иметь в виду, что ось 
как бы распадается на две прямые, из которых одна остаётся на горизонтальной плоскости 
, а другая — на фронтальной плоскости 
. И между этими двумя осями и образуется разрывная или нулевая плоскость, где не приводится ортогональные проекции точки, а используется для вспомогательной части чертежа, т. е. проводятся дуговые линии. Поэтому в эпюре (рисунок 2, б) используется из имеющихся четырех плоскостей только три плоскости: ; ; , а четвертая плоскость используется как вспомогательная плоскость, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет 
.
2. Точка находится во втором октанте (рисунок 2, в, г). Проектируя точку на плоскости и , получим её проекции: горизонтальную — на задней полуплоскости , вертикальную — на верхней полуплоскости , а профильная — также на задней полуплоскости . Численные значения точки 
заданы и по ним можно определить, что точка принадлежит горизонтальной плоскости, тогда одна проекция точки — горизонтальная будет расположена над осью , а две другие проекции — фронтальная и профильная будет лежать на оси . При совмещении плоскости с задняя полуплоскость плоскости перемещается вверх, а задняя профильная полуплоскость перемещается влево 
фронтали и ось проекции расположатся выше оси и на одном перпендикуляре к ней, т. е. все точки и располагаются в одной четверти эпюры, а остальные три четверти плоскостей не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет 
.
3. Точки 
и находятся в третьем октанте и изображаются в эпюре по двум четвертям проекции (рисунок 2, д, е). Горизонтальная проекция расположена над осью , а фронтальная и профильная под осью . Точка 
также располагается по двум четвертям проекции, но фронтальная и профильная проекции расположены на оси , а горизонтальная проекция над осью . Здесь проекционные точки и используются в двух четвертях плоскости, а остальные две четверти плоскости не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет 
.
4. Точки и находятся в четвертом октанте пространственной системы и также в эпюре располагаются по двум четвертям плоскости, только в нижней части эпюры (рисунок 2, ж, з). Горизонтальная и фронтальная проекции расположены под осью , а профильная проекция расположена под осью . Точка 
здесь также располагаются по двум четвертям плоскости эпюры в нижней части, при этом фронтальная проекция точки расположена на оси ; профильная проекция расположена на оси , а горизонтальная проекция расположена под осью . Здесь также проекционные точки и используются в двух нижних четвертях плоскости эпюры, а остальные две верхние четверти не используются, коэффициент использования плоскостей эпюры, . 3
Рис. 2. Проецирование точек и в I-IV октантах
5. На рисунке 3, и, к показана эпюра пятого октанта пространственной системы. Точки и в эпюре располагаются в двух четвертях плоскости проекции, только с правой стороны. Фронтальная и профильная проекции точки располагаются над осью , а горизонтальная проекция под осью . Точка принадлежит фронтальной плоскости и проекции точки 
также располагаются по двум четвертям плоскости эпюры с правой стороны; горизонтальная проекция лежит на оси , а фронтальная и профильная проекции точки расположены над осью . Здесь используются в двух четвертях с правой стороны эпюры, а остальные две четверти плоскости с левой стороны эпюры не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .
Рис. 3. Проецирование точек и в V-VIII октантах
6. На рисунке 3, л, м приводится эпюра шестого октанта пространственной системы. Точки и в эпюре располагаются по двум четвертям плоскости проекции, которые находятся в верхней части эпюры. Горизонтальная и фронтальная проекция располагается над осью 
. Проекции точки 
, также располагаются по двум четвертям и находятся в верхней части эпюры, фронтальная проекция точки лежит на оси 
; профильная — на оси , а горизонтальная проекция — над осью . Здесь используются в двух четвертях верхней части плоскости эпюры, а остальные две четверти в нижней части плоскости эпюры не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .
7. Точки и находятся в седьмом октанте и в эпюре (рисунок 3, н, о) располагаются по трем четвертям плоскости проекции. Горизонтальная проекция точки расположена над осью ; фронтальная — под осью , а профильная проекции точки под осью . Проекция точки 
располагаются в тех же проекциях: горизонтальная проекция точки лежит на оси ; профильная лежит на оси 
, а фронтальная расположена под осью . В эпюре используется из имеющихся четырех плоскостей только три плоскости: ; ; , а четвертая используется как вспомогательная плоскость, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .
8. На рисунке 3, н, р приводится эпюра восьмого октанта пространственной системы. Все точки и в эпюре располагаются в одной четверти. Горизонтальная , фронтальная и профильная проекции точки расположены под осью . Проекции точки 
лежит на оси проекции и очевидно, что три её проекции , и совпадают с точкой на оси . Здесь все ортогональные точки и располагаются в одной четверти плоскости эпюры, а остальные три четверти плоскости эпюры не используются, поэтому коэффициент использования плоскостей эпюры будет .
Вышеизложенное позволяет сделать следующие выводы:
1. В эпюре видно, что используется три плоскости 
, а четвертая плоскость является вспомогательной, для проведения дуговой линии.
2. Наглядно видно, что из восьми октантов эпюры плоскостей наиболее благоприятным октантом является первый октант, так как коэффициент использования плоскостей эпюры равно .
3. Из двух пространственной и плоскостной модели координатных плоскостей для лучшего чтения чертежей приемлемым является плоскостная модель — эпюра.
4. В эпюре имея две ортогональные точки, всегда можно построить по ним и третью.
Литература:
1. Фролов С. А. Начертательная геометрия. // Учебник. — М.:, 1998. — С. 240.
