Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 26 июля, печатный экземпляр отправим 30 июля
Опубликовать статью

Молодой учёный

Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса

Математика
25.11.2013
142
Поделиться
Библиографическое описание
Расулова, З. Д. Построение резольвенты обобщенной модели Фридрихса / З. Д. Расулова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2013. — № 12 (59). — С. 18-20. — URL: https://moluch.ru/archive/59/8370/.

Настоящая статья является продолжением работы [1], где рассматривается обобщенная модель Фридрихса  с возмущением ранга не более чем 4, и найдены явный вид существенного и дискретного спектра этого оператора. Там также установлено, что оператор  имеет не более чем четыре (с учетом кратности) собственных значений вне существенного спектра. В данной работе мы продолжим изучать спектральных свойств оператора , точнее, описываем строение резольвенты оператора  и задача состоит в обосновании этих описаний. При этом используется правило Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными. Заметим, что обобщенная модель Фридрихса  ассоциировано с системой не более чем двух частиц на решетке. Известно, что некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектральных свойств обобщенной модели Фридрихса [2,3]. Поэтому изучение резольвенты таких операторов играют важную роль в современной математической физике.

Пусть - -мерный тор, т. е. куб  — с соответствующим отождествлением противоположных граней. Всюду в работе  рассматривается как абелева группа в котором операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в  по модулю . Здесь через  и  обозначены множество всех вещественных и целых чисел, соответственно.

Пусть  — одномерное комплексное пространство, а  — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Обозначим через  прямую сумму пространств  и , т. е. . Пространство  и  называется нолчастичном и одночастичном подпространством фоковского пространства  над , соответственно.

Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса  действующую в гильбертовом пространстве  как  блочно операторная матрица

,

где матричные элементы  определяются по правилам

.

Здесь  - фиксированное вещественное число,  и  вещественно-непрерывные функции на , а  сопряженный оператор к .

При этих предположениях оператор  является ограниченным и самосопряжённым в гильбертовом пространстве . Надо отметить, что по определению пространства  всякий линейный ограниченный оператор в этом пространстве всегда записывается как  блочно операторная матрица.

Обычно оператор  называется оператором уничтожения, а оператор  называется оператором рождения [4].

Обозначим через ,  и , соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.

Прежде всего дадим краткое информации о спектре оператора . В работе [1] доказано, что , где числа  и  определяются следующим образом:

.

Определим регулярную в  функции

.

Очевидно, что функция  является определителем симметричной матрицы, поэтому нули этой функции являются вещественными. Как было показано в работе [1] для дискретного спектра самосопряженного оператора  имеет место равенство

.

Учитывая выше сказанные фактов для спектра оператора  имеем

.

Теперь переходим к построению резольвенты обобщенной модели Фридрихса . Для  и  положим

;

;

.

Сформулируем основной результат работы о явном виде резольвенты обобщенной модели Фридрихса .

Теорема. При каждом фиксированном  резольвента  оператора  определяется следующим образом:

;;

где , а  и  являются компонентами вектора , принадлежащее в  и , соответственно.

Доказательство. Пусть . Для построения резольвенты нам понадобится рассмотреть уравнение  для любых . Для удобства, это уравнение напишем в виде следующей системы уравнений

;

.     (1)

Для любых  и  имеет место соотношение . Тогда из второго уравнения системы (1) для  имеем

,                                                  (2)

где

.                                                                                          (3)

Подставляя полученное выражение (2) для  в первое уравнение системы (1) и равенству (3) имеем

;

;

.

Так как основной детерминант  последной системы отлично от нуля при всех , для таких это система уравнений имеет единственный решение . При этом в силу правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными компоненты  определяются равенствами:

.

Далее, подставляя найденные выражения для  в равенство (2), получим

.

Сопоставляя полученные выражения для  и  через  и  приходим к равенству , . Теорема доказана.

Из определения оператора видно, что резольвента  блочно-операторной матрицы опять является  блочно-операторная матрица.

Литература:

1.      З. Д. Расулова. О дискретном спектре обобщенной модели Фридрихса с возмущением ранга не более чем 4 // Молодой учёный — 2013 — № 11 — С. 15–17.

2.      Л. Д. Фаддеев. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра // Труды Математического Института АН СССР, 1964, Т. 73, С. 292–313.

3.      Р. А. Минлос, Я. Г. Синай. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа // Теоретическая и математическая физика, 1979, Т. 2, № 2, С. 230–243.

4.      К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.

Можно быстро и просто опубликовать свою научную статью в журнале «Молодой Ученый». Сразу предоставляем препринт и справку о публикации.
Опубликовать статью
Молодой учёный №12 (59) декабрь 2013 г.
Скачать часть журнала с этой статьей(стр. 18-20):
Часть 1 (стр. 1-209)
Расположение в файле:
стр. 1стр. 18-20стр. 209

Молодой учёный