В работе изучаются свойства подгрупп конечных групп, определяемые посредством множества , где — непустое множество простых чисел. Установлены свойства F^ω‐радикала и F^ω‐корадикала группы.

Ключевые слова: группа, конечная группа, класс групп, формация, класс Фиттинга, радикал группы, корадикал группы.

Рассматриваются только конечные группы. Теория классов конечных групп занимает одно из центральных мест в современной алгебре. В настоящее время в рамках данной теории важную роль стали играть подгруппы групп, определяемые с помощью рассматриваемых классов. К таким подгруппам относят радикалы и корадикалы групп. Пусть  непустой класс групп. Напомним, что радикалом ( ‐корадикалом) группы называется произведение (пересечение) всех нормальных подгрупп группы , принадлежащих классу групп (фактор-группы по которым принадлежат классу групп ). Ключевые свойства радикала ( ‐корадикала) представлены в монографиях [1, 3, 7, 8].

В теории классов групп центральное место занимают локальные формации и классы Фиттинга, естественным обобщением которых являются локальные формации и локальные классы Фиттинга соответственно [5], где непустое множество простых чисел. При исследовании локальных формаций были введены в рассмотрение подгруппы в группах, определяемые с учётом множества : проекторы, нормализаторы и др. [2].

Следуя подходу [2], в настоящей работе введены в рассмотрение понятия радикала и корадикала конечных групп. Установлено, что данные подгруппы групп являются характеристическими.

Обозначения и определения, используемые в статье, являются стандартными (см., например, [4]). Приведем лишь некоторые из них.

Через обозначается множество всех простых чисел, непустое подмножество множества . Через обозначается порядок конечной группы , т. е. количество элементов группы , — совокупность всех простых делителей порядка группы . Группа называется группой, если . Подгруппа группы называется подгруппой группы , если является группой [7, с. 248].

Запись ( ) означает, что — нормальная (характеристическая) подгруппа группы ; — группа всех автоморфизмов группы [4, с. 5].

Классом групп называется всякая совокупность групп, которая с каждой своей группой содержит и все группы, ей изоморфные [4, с. 161].

Определение 1. Класс групп назовём классом Фиттинга, если выполняются два условия:

1. из того, что и — нормальная подгруппа группы , следует, что ;
2. из того, что и , — нормальные подгруппы группы , следует, что .

Определение 2. Пусть  непустой класс групп,  группа. - радикалом группы назовём произведение всех нормальных подгрупп группы , принадлежащих классу групп , и обозначим .

Замечание 1. Из определения 2 следует, что радикал группы является нормальной подгруппой группы . В общем случае подгруппа не обязана принадлежать классу групп .

Замечание 2. Пусть  класс Фиттинга, — группа. Тогда — наибольшая нормальная подгруппа группы , принадлежащая .

Замечание 3. В любой группе радикал содержится в её радикале для любого множества . В случае, когда , понятия радикала и радикала группы совпадают.

Определение 3. Класс групп 𝔉 называется 𝜔-формацией, если выполняются два условия:

1. если из того, что и — нормальная подгруппа группы , следует, что ;
2. если из того, что , и , — нормальные подгруппы группы , следует, что [6, с. 168].

Определение 4. Пусть  непустой класс групп, — группа. корадикалом группы называется пересечение всех нормальных подгрупп группы , фактор-группы по которым принадлежат классу групп , и обозначается [6, с. 168].

Замечание 4. Из определения 4 следует, что -корадикал группы является нормальной подгруппой группы . В общем случае фактор-группа не обязана принадлежать классу групп .

Замечание 5. Пусть  непустая формация, — группа. Тогда корадикал группы является наименьшей нормальной подгруппой группы , фактор-группа по которой принадлежит .

Замечание 6. В любой группе ‐корадикал содержится в её ‐корадикале для любого множества . В случае, когда , понятия ‐корадикала и корадикала группы совпадают.

Теорема 1. Пусть  непустой класс Фиттинга. Тогда в любой конечной группе её -радикал является характеристической подгруппой.

Доказательство. Пусть — группа. Покажем, что . Согласно определению 2, имеет место равенство , где — совокупность всех нормальных подгрупп группы , принадлежащих классу групп . Пусть . Покажем, что .

Так как — гомоморфное отображение группы на себя, то (1). По лемме 2.6 (3) [4, с. 61] справедлив следующий изоморфизм: . Следовательно, — нормальная подгруппа группы , принадлежащая классу групп . Таким образом, и поэтому (2).

Из определения 2 следует, что (3). Тогда из (1) — (3) получаем равенство для любого . Тем самым доказано, что .

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть  непустая формация. Тогда в любой конечной группе её -корадикал является характеристической подгруппой.

Доказательство. Пусть — группа. Покажем, что . Согласно определению 4, имеет место равенство , где — совокупность всех нормальных подгрупп группы , фактор-группы по которым принадлежат классу групп . Пусть . Покажем, что .

Согласно определению 4, имеет место равенство: (1). Так как — конечное множество, то также является конечным множеством. Пусть , . Покажем, что (2). Пусть , . Тогда , . Так как , то . Следовательно, (а).

Покажем, что . Пусть . Следовательно, . Так как и , то , где , то есть . Таким образом, , где . Аналогично, , следовательно , где . Тогда , следовательно . Из этого равенства можно сделать вывод, что . Таким образом, , где . Это означает, что , то есть . Тем самым установлено, что (б). Из (а) и (б) имеет место равенство . Следовательно, — нормальная подгруппа группы .

Покажем, что . Действительно, поскольку и , то по лемме 2.6 (5) [4, с. 61] и . Так как , то . Поскольку и — класс групп, то . Таким образом, — нормальная подгруппа группы , фактор-группы по которым принадлежат классу групп для любого . Исходя из этого, . Следовательно, (3). Далее, по определению 4 имеет место: (4). Из (1) — (4) следует равенство . Тем самым доказано, что .

Теорема доказана.

Литература:

1. Ведерников, В. А. Элементы теории классов групп / В. А. Ведерников. — Смоленск: СГПИ, 1988. — 96 c.
2. Ведерников, В.А. нормализаторы конечных групп / В. А. Ведерников, М. М. Сорокина // Сибирский математический журнал. — 2017. — Т. 58. № 1. — С. 64–82.
3. Воробьёв, Н. Н. Алгебра классов конечных групп / Н. Н. Воробьёв. — Витебск: ВГУ им. П. М. Машерова, 2012. ‒ 322 с.
4. Монахов, В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов / В. С. Монахов. ‒ Минск: Вышэйшая школа, 2006. — 322 с.
5. Скиба, А. Н. Кратно -локальные формации и классы Фиттинга конечных групп / А.Н Скиба, Л. А. Шеметков // Математические труды. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 114–147.
6. Сорокина, В. Н. Произведения формаций конечных групп / В. Н. Сорокина, М. М. Сорокина // Международная научно-практическая конференция «Теоретические и прикладные аспекты естественно-научного образования в эпоху цифровизации». — Брянск: БГУ, 2024. — С. 167–171.
7. Шеметков, Л. А. Формации конечных групп / Л. А. Шеметков. — М.: Наука, 1978. — 272 с.
8. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Нawkes. — Berlin — New York: Walter de Gruyter, 1992. — 901 p.