Сорокина, В. Н. О свойствах радикалов и корадикалов конечных групп / В. Н. Сорокина. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2025. — № 25 (576). — С. 1-4. — URL: https://moluch.ru/archive/576/126816/.
В работе изучаются свойства подгрупп конечных групп, определяемые посредством множества
, где
— непустое множество простых чисел. Установлены свойства F^ω‐радикала и F^ω‐корадикала группы.
Ключевые слова:
группа, конечная группа, класс групп, формация, класс Фиттинга, радикал группы, корадикал группы.
Рассматриваются только конечные группы. Теория классов конечных групп занимает одно из центральных мест в современной алгебре. В настоящее время в рамках данной теории важную роль стали играть подгруппы групп, определяемые с помощью рассматриваемых классов. К таким подгруппам относят
радикалы и
корадикалы групп. Пусть
непустой класс групп. Напомним, что
радикалом (
‐корадикалом) группы
называется произведение (пересечение) всех нормальных подгрупп группы
, принадлежащих классу групп
(фактор-группы по которым принадлежат классу групп
). Ключевые свойства
радикала (
‐корадикала) представлены в монографиях [1, 3, 7, 8].
В теории классов групп центральное место занимают локальные формации и классы Фиттинга, естественным обобщением которых являются
локальные формации и
локальные классы Фиттинга соответственно [5], где
непустое множество простых чисел. При исследовании
локальных формаций были введены в рассмотрение подгруппы в группах, определяемые с учётом множества
:
проекторы,
нормализаторы и др. [2].
Следуя подходу [2], в настоящей работе введены в рассмотрение понятия
радикала и
корадикала конечных групп. Установлено, что данные подгруппы групп являются характеристическими.
Обозначения и определения, используемые в статье, являются стандартными (см., например, [4]). Приведем лишь некоторые из них.
Через
обозначается множество всех простых чисел,
непустое подмножество множества
. Через
обозначается порядок конечной группы
, т. е. количество элементов группы
,
— совокупность всех простых делителей порядка группы
. Группа
называется
группой, если
. Подгруппа
группы
называется
подгруппой группы
, если
является
группой [7, с. 248].
Запись
(
) означает, что
— нормальная (характеристическая) подгруппа группы
;
— группа всех автоморфизмов группы
[4, с. 5].
Классом групп называется всякая совокупность групп, которая с каждой своей группой содержит и все группы, ей изоморфные [4, с. 161].
Определение 1.
Класс групп
назовём
классом Фиттинга, если выполняются два условия:
из того, что
и
— нормальная
подгруппа группы
, следует, что
;
из того, что
и
,
— нормальные
подгруппы группы
, следует, что
.
Определение 2.
Пусть
непустой класс групп,
группа.
- радикалом группы
назовём произведение всех нормальных
подгрупп группы
, принадлежащих классу групп
, и обозначим
.
Замечание 1.
Из определения 2 следует, что
радикал группы
является нормальной
подгруппой группы
. В общем случае подгруппа
не обязана принадлежать классу групп
.
Замечание 2.
Пусть
класс Фиттинга,
— группа. Тогда
— наибольшая нормальная
подгруппа группы
, принадлежащая
.
Замечание 3.
В любой группе
радикал содержится в её
радикале для любого множества
. В случае, когда
, понятия
радикала и
радикала группы
совпадают.
Определение 3.
Класс групп 𝔉 называется 𝜔-формацией, если выполняются два условия:
если из того, что
и
— нормальная
подгруппа группы
, следует, что
;
если из того, что
,
и
,
— нормальные
подгруппы группы
, следует, что
[6, с. 168].
Определение 4.
Пусть
непустой класс групп,
— группа.
корадикалом группы
называется пересечение всех нормальных
подгрупп группы
, фактор-группы по которым принадлежат классу групп
, и обозначается
[6, с. 168].
Замечание 4.
Из определения 4 следует, что
-корадикал группы
является нормальной
подгруппой группы
. В общем случае фактор-группа
не обязана принадлежать классу групп
.
Замечание 5.
Пусть
непустая
формация,
— группа. Тогда
корадикал группы
является наименьшей нормальной
подгруппой группы
, фактор-группа по которой принадлежит
.
Замечание 6.
В любой группе
‐корадикал содержится в её
‐корадикале для любого множества
. В случае, когда
, понятия
‐корадикала и
корадикала группы
совпадают.
Теорема 1.
Пусть
непустой
класс Фиттинга. Тогда в любой конечной группе её
-радикал является характеристической подгруппой.
Доказательство.
Пусть
— группа. Покажем, что
. Согласно определению 2, имеет место равенство
, где
— совокупность всех нормальных
подгрупп группы
, принадлежащих классу групп
. Пусть
. Покажем, что
.
Так как
— гомоморфное отображение группы
на себя, то
(1). По лемме 2.6 (3) [4, с. 61] справедлив следующий изоморфизм:
. Следовательно,
— нормальная
подгруппа группы
, принадлежащая классу групп
. Таким образом,
и поэтому
(2).
Из определения 2 следует, что
(3). Тогда из (1) — (3) получаем равенство
для любого
. Тем самым доказано, что
.
Теорема доказана.
Теорема 2.
Пусть
непустая
формация. Тогда в любой конечной группе её
-корадикал является характеристической подгруппой.
Доказательство.
Пусть
— группа. Покажем, что
. Согласно определению 4, имеет место равенство
, где
— совокупность всех нормальных
подгрупп группы
, фактор-группы по которым принадлежат классу групп
. Пусть
. Покажем, что
.
Согласно определению 4, имеет место равенство:
(1). Так как
— конечное множество, то
также является конечным множеством. Пусть
,
. Покажем, что
(2). Пусть
,
. Тогда
,
. Так как
, то
. Следовательно,
(а).
Покажем, что
. Пусть
. Следовательно,
. Так как
и
, то
, где
, то есть
. Таким образом,
, где
. Аналогично,
, следовательно
, где
. Тогда
, следовательно
. Из этого равенства можно сделать вывод, что
. Таким образом,
, где
. Это означает, что
, то есть
. Тем самым установлено, что
(б). Из (а) и (б) имеет место равенство
. Следовательно,
— нормальная
подгруппа группы
.
Покажем, что
. Действительно, поскольку
и
, то по лемме 2.6 (5) [4, с. 61]
и
. Так как
, то
. Поскольку
и
— класс групп, то
. Таким образом,
— нормальная
подгруппа группы
, фактор-группы по которым принадлежат классу групп
для любого
. Исходя из этого,
. Следовательно,
(3). Далее, по определению 4 имеет место:
(4). Из (1) — (4) следует равенство
. Тем самым доказано, что
.
Теорема доказана.
Литература:
Ведерников, В. А. Элементы теории классов групп / В. А. Ведерников. — Смоленск: СГПИ, 1988. — 96 c.
Ведерников, В.А.
нормализаторы конечных групп / В. А. Ведерников, М. М. Сорокина // Сибирский математический журнал. — 2017. — Т. 58. № 1. — С. 64–82.
Воробьёв, Н. Н. Алгебра классов конечных групп / Н. Н. Воробьёв. — Витебск: ВГУ им. П. М. Машерова, 2012. ‒ 322 с.
Монахов, В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов / В. С. Монахов. ‒ Минск: Вышэйшая школа, 2006. — 322 с.
Скиба, А. Н. Кратно
-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп / А.Н Скиба, Л. А. Шеметков // Математические труды. — 1999. — Т. 2, № 2. — С. 114–147.
Сорокина, В. Н. Произведения
формаций конечных групп / В. Н. Сорокина, М. М. Сорокина // Международная научно-практическая конференция «Теоретические и прикладные аспекты естественно-научного образования в эпоху цифровизации». — Брянск: БГУ, 2024. — С. 167–171.
Шеметков, Л. А. Формации конечных групп / Л. А. Шеметков. — М.: Наука, 1978. — 272 с.
Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Нawkes. — Berlin — New York: Walter de Gruyter, 1992. — 901 p.
Можно быстро и просто опубликовать свою научную статью в журнале «Молодой Ученый». Сразу предоставляем препринт и справку о публикации.