В статье рассматривается алгоритм нахождения Z-образа дискретной последовательности, отсчеты которой могут быть заданы рекуррентной формулой или системой разностных уравнений конечного набора аналитических функций.
Ключевые слова : Z-преобразование, структурная схема, передаточная функция.
Z-преобразование является удобным математическим аппаратом для анализа дискретных сигналов и систем. Если дискретная функция задана аналитической формулой, ее Z-образ есть сумма бесконечного ряда, если ряд сходится, то Z-образ — дискретная функция. В литературе, например, в [1] приводится таблица Z-преобразования для ряда дискретных функцию.
В работе предложен вариант нахождения Z-образа путем построения структурной схемы дискретной системы по аналитической формуле дискретной последовательности.
Пусть дискретная последовательность f(n) задана аналитически — известна формула, определяющая значение n-го члена последовательности f(n) и значение f(0).
Вариант 1: f(n) может быть выражено через f(n-1)
где С — константа.
Уравнение (1) можно рассматривать как разностное уравнение рекурсивного фильтра первого порядка, ему соответствует структурная схема, приведенная на рисунке 1 и передаточная функция
Рис. 1. Структурная схема фильтра для разностного уравнения (1)
При подаче на вход фильтра дискретной дельта-функции δ(n), на выходе получим импульсную характеристику фильтра, равную заданной дискретной последовательности f(n), следовательно, H(z) — Z-образ последовательности f(n).
Пример 1.
Пусть С в (1) равно 1, тогда
f 1 (n) — единичная последовательность, Z-образ последовательности
Вариант 2: Функция g(n)= f(n- k), получена сдвигом на k отсчетов функции f(n), структурная схема которой известна и Z-образ которой F(z), по свойству Z-преобразований G(z) = F(z) z - k , структурная схема приведена на рисунке 2.
Рис. 2. Структурная схема при сдвиге последовательности на k отсчетов
Пример 2.
Пусть задана функция
f 2 (n) — сдвинутая на один такт вправо функция f 1 (n), H 2 (z) = H 1 (z)z -1 , получаем
Вариант 3: f(n) может быть выражена через f(n-1) и аддитивную константу С
Перепишем (2), используя другие обозначения
Выполним Z-преобразование над правой и левой частями (3)
Выражение в скобках в уравнении (4) — это Z-образ единичной функции (H 1 (z) из примера 1, получаем
Возвращаясь к функции f(n), запишем
где F(z) — Z-образ для f(n).
Окончательно получаем
Аддитивная константа реализуется последовательным соединением каскада рекурсивного фильтра первого порядка, каскада, формирующего единичную последовательность и задержки, для сдвига единичной последовательности на 1 (рисунок 3).
Рис. 3. Структурная схема для включения константы
Пример 3.
Пусть задана функция линейной дискретной последовательности
При этом f 3 (n) = f 3 (n-1) + 1, тогда Z-образ последовательности
Вариант 4: Имеются две функции f(n) и g(n), такие что
Построим структурную схему (рисунок 4), соответствующую уравнениям, для упрощения, не изменяющие принципов преобразования структурной схемы, примем С 3 = С 5 = 0.
Рис. 5. Структурная схема для двух дискретных последовательностей
Выполним преобразование структурной схемы (рисунок 6):
1) многовходовые сумматоры представим совокупностью двухвходовых;
2) для каждого умножителя на константу используем сигнал с собственной задержкой.
Схема с использованием обозначений каскадов приведена на рисунках 7. Передаточные функции выделенных каскадов
Выполнив эквивалентные преобразования структурной схемы [2], получим схему, представленную на рисунке 7.
Полученная в результате эквивалентных преобразований структурная схема позволяет записать передаточную функцию системы для выхода f(n)
Рис. 6
Рис. 7
Выполнение Z-преобразования сводится к последовательному выполнению следующих шагов:
1) Нахождение рекуррентного выражения для нахождения значения отсчета f(n) через f(n-1) и, возможно, некоторый набор других k функций g 1 (n), g 2 (n), …, g k (n), причем каждая из функций g i (n), i=1:k, также может быть представлена через f(n) и остальные функции g j (n), j=1:k, j≠i.
2) Формирование структурной схемы дискретной системы для получения значений функций f(n) и g i (n), I=1:k при входном воздействии — дискретная дельта функция δ(n).
3) Выполнить эквивалентные преобразования структурной схемы для выхода f(n) до получения линейной структуры (элементами могут быть параллельные соединения или каскады с обратной связью).
4) Записать передаточную функцию системы F(z).
5) Результат получен: F(z) есть Z-образ f(n).
Литература:
- Гольденберг Л. М. и др. Цифровая обработка сигналов: Справочник — М.: Радио и связь, 1985. — 312 с.
- Бесекерский В. А. Теория систем автоматического управления / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. — 4-е изд., перераб. и доп. — СПб.: Профессия, 2004. — 747 с.
