Отправьте статью сегодня! Журнал выйдет 19 июля, печатный экземпляр отправим 23 июля
Опубликовать статью

Молодой учёный

Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа

Математика
27.06.2017
271
Поделиться
Библиографическое описание
Меражова, Ш. Б. Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа / Ш. Б. Меражова, У. У. Умарова. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2017. — № 25 (159). — С. 10-12. — URL: https://moluch.ru/archive/159/44939/.


Исследования разностных схем проводятся, разбивая на два этапа.

I этап. Проверка аппроксимации. I этап состоит в проверке того, что интересующее нас решение дифференциального уравнения

,

после замены его на следующее разностное уравнение

удовлетворяет ли его, т. е. выполняются ли следующие равенства:

(здесь шаги разностной схемы). Проверка этих неравенств называется проверкой аппроксимации.

II этап. Проверка устойчивости.

Проверка следующего неравенства

для решений разностного уравнения, называется проверкой устойчивости разностной схемы.

Теперь в области рассмотрим следующее уравнения:

(1)

Мы через обозначим линейный, дифференциальный оператор с частными производными второго порядка:

.

Здесь , , , , — заданные функции, которые удовлетворяют следующие условиям:

1) и .

2) и .

3) .

4) .

— пространство непрерывных функций, — замыкание . Область разделим на три области:

Здесь ,

,

- граница области .

— внутренняя нормаль проведений к границе .

Определим, к какому типу принадлежит (1) уравнение в области . Введем следующие обозначения: .

Мы знаем в области значения выражения может быть отрицательным, положительным или равным нулю, тогда соответственно в (1) уравнение называется или эллиптического, или гиперболического или параболического типа.

Здесь , .

По классификацию уравнений частного производного второго порядка (1) уравнения принадлежит к уравнениям смешанного типа в области .

Для уравнения (1) изучаем следующую краевую задачу:

Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнения (1), а при граничное условие:

(2)

пространство функций, принадлежащих классу и удовлетворяющих условию (2).

Для решения краевой задачи (1) — (2), мы используем приближенной (численный) метод (метод разностных схем).

В области построим разностную сетку шагами , (, ).

Приближенное решение (1)-(2) краевой задачи в точке обозначим через .

Здесь, — узловые точки, получение пересечением прямых линий . Введем следующие операторы сдвига и разностные операторы:

, ,

.

Тогда аппроксимируем краевую задачу (1)-(2), следующей схемой [2]:

Это схема имеет первую аппроксимацию по .

Литература:

  1. Алоев Р. Д., Рахмонов Х. О., Шарипова Ш. Исследование разностной модели краевой задачи для уравнения смешанного типа. «Оптимизация численных методов» Тезисы докладов международной научной конференции «Оптимизация численных методов», посвященной 90-летию со дня рождения С. Л. Соболев. Уфа ИМВЦ УНЦ РАН 1998г, 4–5-с.
  2. Меражова Ш. Численное решения первой и второй краевой задачи для уравнения смешанно-составного типа. В. И. Романовский юбилейига бағишланган конференция материаллари тўплами. Тошкент, 2004, 81–84-с.
Можно быстро и просто опубликовать свою научную статью в журнале «Молодой Ученый». Сразу предоставляем препринт и справку о публикации.
Опубликовать статью
Молодой учёный №25 (159) июнь 2017 г.
Скачать часть журнала с этой статьей(стр. 10-12):
Часть 1 (стр. 1-93)
Расположение в файле:
стр. 1стр. 10-12стр. 93

Молодой учёный