Новые обобщения определения параболы

Целью работы является обобщение определения параболы в том случае, когда фокус превращается в фокальную окружность.

Парабола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы) [1, c.85].

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

Рис. 1. Парабола

Директриса — прямая , лежащая в плоскости конического сечения и обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки до этой прямой есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

Эксцентриситет — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Для параболы эксцентриситет равен .

В данной работе исследуется случай, при котором вместо фокуса-точки рассматривается фокальная окружность радиуса , центр которой находится в начале системы координат.

Рис. 2. Фокальная окружность

Найдем _, если точка расположена вне круга:

тогда уравнение геометрического места точек:

(1)

Если же точка расположена внутри круга, то:

(2)

Для описания данного геометрического места точек необходимо отдельно рассмотреть следующие случаи:

1. Точка находится вне окружности (и на ее границе):
   1. — Рассматривается участок слева от директрисы.
   2. — Рассматривается участок справа от директрисы.
   3. .
2. Точка находится внутри окружности:
   1. — Рассматривается участок слева от директрисы.
   2. — Рассматривается участок справа от директрисы.
   3. .

Рассмотрим все случаи для уравнения (1). Перенесем в правую часть и избавимся от радикала, возведя обе части в квадрат:

раскроем модуль для случая 1.a:

Сгруппировав слагаемые и вынеся общие множители, получим следующее уравнение:

которое можно привести к виду

Однако для построения графиков удобнее будет воспользоваться следующим видом:

Очевидно, что обязательно подкоренное выражение не должно быть отрицательным. Рассмотрим данное неравенство подробнее.

Таким образом, необходимо учитывать ряд ограничений на область определения:

Рис. 3. ГМТ 1.а при

Рассматривая аналогичным образом случаи 1.b и 1.c, получим:

Для 1.b:

Рис. 4. ГМТ 1.b при

Для 1.c:

Перейдем теперь к рассмотрению случая 2. Так как расстояние от любой точки внутри окружности до ее границы не может превосходить радиус этой окружности то логично потребовать этого же и от расстояния до прямой: . Что, в свою очередь, даст условие . В (2) подставим условия случая 2.а:

перенесем в правую часть и избавимся от радикала, возведя обе части в квадрат:

возведя обе части равенства в квадрат, получим:

Также на область определения накладывается условие расположения внутри окружности: , где определяется соответствующим рассматриваемому случаю уравнением ГМТ. Для случая 2.а:

Старший коэффициент параболы больше нуля, следовательно, допустимая область находится между корнями уравнения. Решим данное квадратное уравнение:

Таким образом, в случае 2.а:

Рис. 5. ГМТ 2.а при

Перейдем к случаю 2.b. Аналогично с 2.а, получим ГМТ:

Рис. 6. ГМТ 2.b при

В целом, случай 2.с аналогичен случаю 1.с:

Можно сделать вывод, что при , будет наблюдаться следующая картина:

Рис. 7. Авторская парабола при

Иначе, при :

Рис. 8. Авторская парабола при

В результате исследования найдены возможные обобщения параболы в случае, когда фокус превращается в фокальную окружность. Эти обобщения представлены на рисунках 6–8.

Литература:

1. Д. В. Клетеник «Аналитическая геометрия»