Генерация крупномасштабных магнитных полей и вихревых структур во вращающейся электропроводящей самогравитирующей среде с мелкомасштабной неспиральной силой



Генерация крупномасштабных магнитных полей ивихревых структур во вращающейся электропроводящей самогравитирующей среде смелкомасштабной неспиральной силой

Копп Михаил Иосифович, кандидат физико-математических наук

В настоящей работе найдена новая крупномасштабная неустойчивость во вращающейся стратифицированной самогравитирующей электропроводящей среде с мелкомасштабной турбулентностью. Турбулентность возбуждается внешней мелкомасштабной силой с нулевой спиральностью и малым числом Рейнольдса. Теория построена на основе метода многомасштабных асимптотических разложений. В пятом порядке теории возмущений получены основные уравнения, описывающие неустойчивости типа гидродинамического и магнитогидродинамического α-эффектов во вращающейся турбулентной среде. Получены критерии возникновения двух α-эффектов при наличии мелкомасштабных пульсаций магнитного поля с нулевой спиральностью. Численные оценки характерных масштабов крупномасштабной неустойчивости приведены на примере галактической плазмы.

Ключевые слова: сила Кориолиса, многомасштабные асимптотические разложения, стратифицированная самогравитирующая электропроводящая среда, неспиральная мелкомасштабная турбулентность, α-эффект, спиральные галактики

In this paper we found a new large-scale instability in the rotating self-gravitating stratified electrically conductive medium to small-scale turbulence. Turbulence excited small-scale external force with zero helicity and low Reynolds number. The theory is based on the method of multi-scale asymptotic expansions. In the fifth-order perturbation theory, the basic equations that describe the type of hydrodynamic and magnetohydrodynamic α-effects in the rotating turbulent medium. Criteria for the occurrence of the two α-effects in the presence of small-scale magnetic field fluctuations with zero helicity are obtained. Numerical evaluation of the characteristic scales instability shown by the example of the galactic plasma.

Keywords: сoriolis force, multiscale asymptotic expansions, self-gravitating stratified conductive medium, nonspiral small-scale turbulence, α-effect, spiral galaxies

Открытое в работах [1–6] явление генерации крупномасштабных магнитных полей однородной изотропной, но зеркально-несимметричной (спиральной) турбулентностью получило название α-эффекта. На основе этого эффекта были построены различные теории, объясняющие происхождение магнитных полей у различных астрофизических объектов: планет и Солнца [1–5], галактик [6] и т. п. В последнем обзоре по этой теме [7] широко обсуждаются лабораторные динамо-эксперименты. Развитие вычислительной физики [7] также способствовало применению α-теорий к различным прикладным задачам, что в конечном счете привело к определению нового самостоятельного раздела физики — теории динамо. В современном понятии теория динамо включает в себя и так называемое вихревое динамо, которое описывает эффект генерации крупномасштабных вихрей в турбулентных средах [8]. Теория вихревого динамо началась с работы [9], где была высказана гипотеза о том, что спиральная турбулентность способна генерировать крупные вихри. Эта гипотеза основывалась на сходстве уравнений индукции магнитного поля и вихря в гидродинамике. Однако в работе [10] было показано отсутствие эффекта генерации крупномасштабных вихрей однородной изотропной спиральной турбулентностью в несжимаемой жидкости. Причина отрицательного эффекта заключается в определенной симметрии тензора напряжений Рейнольдса в осредненном уравнении Навье-Стокса. Несмотря на запрет этой теоремы антидинамо, первый пример вихревого динамо в спиральной турбулентности для сжимаемой жидкости был найден в работе [11]. Там впервые было получено линеаризованное уравнение для вихря , которое по виду похоже на уравнение индукции для среднего поля. Эффект генерации крупномасштабных вихрей связан с появлением члена , где выражается через спиральность турбулентности. Этот эффект получил название гидродинамического альфа-эффекта. Дальнейшее направление развития теории вихревого динамо было основано на поиске дополнительных факторов, нарушающих симметрию уравнений. Этими факторами, кроме сжимаемости среды, являются например, неоднородный поток [12], градиент температуры в поле тяжести [13], частицы примеси и пузырьки воздуха в жидкости [12]. На начальном этапе развития теории динамо, замкнутые уравнения для средних (крупномасштабных) полей были получены в основном при помощи метода электродинамики среднего поля (или теории корреляционного сглаживания второго порядка) [5] и функциональной техники [14, 15]. Оба эти метода в применении к задачам теории динамо имеют главный недостаток, заключающийся в трудности определения из всей иерархии возмущений главного порядка при котором возникает неустойчивость. В связи с этим, в работе [16] была рассмотрена крупномасштабная неустойчивость в несжимаемой жидкости методом асимптотических многомасштабных разложений. В качестве малого параметра для асимптотического метода многомасштабных разложений используется число Рейнольдса для мелкомасштабных пульсаций скорости , вызванных мелкомасштабной силой. Модель внешней мелкомасштабной силы была выбрана с нарушением четности (при нулевой спиральности). Эффект генерации крупномасштабных возмущений такой силой получил название анизотропного кинетического альфа-эффекта или АКА-эффекта [16]. Отметим, что нарушение четности является наиболее общим понятием, чем спиральность, хотя именно спиральность является самым распространенным механизмом нарушения четности гидродинамических течений. В дальнейшем, применяя метод многомасштабных асимптотических разложений были разработаны линейные и нелинейные теории вихревого динамо для сжимаемых сред [17, 18], конвективных сред со спиральной внешней силой [19–21], для сред с учетом эффектов вращения [22–25]. В упомянутых выше работах спиральная турбулентность считалась заданной. Генерацию спиральной турбулентности в природных условиях обычно связывают с влиянием силы Кориолиса (или силы Лоренца) на турбулентное движение среды [1, 26], которое изначально было однородным изотропным и зеркально-симметричным (неспиральным). В связи с этим возникает вопрос о возможности генерации крупномасштабных полей (вихревых и магнитных) во вращающихся средах под действием мелкомасштабной силы с нулевой спиральностью: .

Используя метод многих масштабов, в настоящей работе рассмотрена генерация крупномасштабных полей (магнитных и вихревых) в стратифицированной вращающейся электропроводящей среде с учетом ее самогравитации. Данная работа является обобщением работы [25] на случай электропроводящей среды. Полученные здесь инкременты неустойчивости соответствуют гидродинамическому и магнитогидродинамическому альфа-эффектам, которые возникают в результате совместного действия неспиральной силы, вращения и стратификации среды. Рассмотрено также влияние мелкомасштабных магнитных флуктуаций с нулевой спиральностью на генерацию крупномасштабных вихревых и магнитных полей. Результаты настоящей работы могут найти применение к ряду астрофизических задач.

Основные уравнения ипостановка задачи.

Динамику вращающейся электропроводящей среды (плазмы) с учетом ее самогравитации описываем хорошо известными уравнениями магнитной гидродинамики:

(1)

(2)

(3)

(4)

Здесь , , P, , — возмущения скорости, плотности, давления, индукции магнитного поля и гравитационного потенциала среды относительно равновесного состояния:

(5)

где – радиус-вектор элемента среды. Коэффициенты и соответствуют первой и второй кинематической вязкости для сжимаемой среды, — коэффициенты динамической вязкости, — коэффициент магнитной вязкости, – коэффициент электропроводности среды, - гравитационная постоянная. С целью упрощения вычислений выберем декартовую геометрию задачи, для которой вектор угловой скорости считаем постоянным и направленным вдоль оси вертикально вверх ( -единичный вектор по вертикали). Уравнения (1)-(4) дополним уравнением состояния среды, которое для простоты выберем в виде:

(6)

Здесь – скорость звука. Уравнение равновесия (5), используя (6), перепишем в следующем виде:

(7)

Здесь , , где =- характерный масштаб неоднородности или стратификации среды, которая возникает естественным образом в поле гравитации. Выбор обозначений для равновесного состояния (индекс с двумя нулями) связан с избежанием путаницы при использовании обозначений асимптотических разложений далее. В уравнение (1) включена внешняя сила , моделирующая источник возбуждения в среде мелкомасштабных и высокочастотных флуктуаций поля скорости с малым числом Рейнольдса . Рассмотрим неспиральную внешнюю силу со следующими свойствами:

div, (8)

(9)

где – характерный масштаб, - характерное время, - характерная амплитуда. Заметим, что мелкомасштабное магнитное поле в линейном приближении не может возбуждаться внешней мелкомасштабной силой , так как это следует из уравнения (3). Поэтому ниже мы рассмотрим два возможных сценария развития крупномасштабной неустойчивости. Первый, когда мелкомасштабное магнитное поле существует изначально, и второй, когда мелкомасштабное поле создается внешним источником , имеющим такие же топологические свойства как и сила , т. е. . Естественно, что возбуждаемое таким источником магнитное поле также неспирально: . Характерный масштаб источника и характерное время удобно выбрать совпадающими с характерными масштабами и соответственно, но характерные амплитуды этих источников будем предполагать разными:

, .

Кроме того, среду для простоты будем считать безграничной и пренебрежем влиянием внешнего магнитного поля. В такой постановке проблема представляет интерес для теории динамо [2–6]. Теперь перейдем в уравнениях (1)-(4) к безразмерным переменным:

, , ,

В безразмерных переменных уравнения (1)-(4) примут вид:

(10)

(11)

(12)

(13)

где – параметр стратификации на масштабе , , – частота Джинса [26]. В уравнение (12) включен источник мелкомасштабных магнитных полей. Характер эволюции полей, описываемых системой уравнений (10)-(13), в значительной степени будет определяться следующими безразмерными параметрами: — безразмерный параметр вращения на масштабе , связанный с числом Тейлора , и являющийся характеристикой степени влияния сил Кориолиса над вязкими силами. , — число Чандрасекара, — магнитное число Прандтля. Малым параметром асимптотического разложения считаем число Рейнольдса , а параметры и произвольными, не влияющими на схему разложения. Мелкомасштабная сила и внешний источник вызывают мелкомасштабные и высокочастотные флуктуации полей на фоне равновесного состояния. Средние значения таких флуктуаций нулевые, но из-за нелинейного взаимодействия в некоторых порядках теории возмущения возникают члены, которые при усреднении не обращаются в нуль. Такие члены называются секулярными и они будут условием разрешимости многомасштабного асимптотического разложения. Нахождение уравнений разрешимости, т. е. уравнений для крупномасштабных возмущений, и является основной задачей. Методика построения асимптотических уравнений хорошо развита в работах [16–25], следуя которым представим пространственные и временные производные в уравнениях (10)-(13) в виде асимптотического разложения:

, (14)

где и – обозначают производные по быстрым переменным , а и – производные по медленным переменным . Переменные и соответственно можно назвать мелкомасштабные и крупномасштабные переменные. Для переменных , , , представим разложение в виде ряда по малому параметру R:

(15)

Подставляя разложения (14)-(15) в систему уравнений (10)-(13) и собирая вместе члены с одинаковыми порядками по до степени включительно, получим уравнения многомасштабного асимптотического разложения. В пятом порядке по теории возмущений получим основную систему секулярных уравнений для описания эволюции крупномасштабных возмущений:

(16)

(17)

(18)

(19)

Эти уравнения дополним секулярными уравнениями, полученными в других порядках по :

, , , , (20)

, , (21)

Из уравнений (20) следует, что для крупномасштабных двумерных движений устанавливается баланс сил Кориолиса и гравитации. Двумерность поля скорости позволяет рассматривать уравнения (16)-(19) в рамках квазидвумерной задачи, когда крупномасштабные производные по Z предпочтительнее, т. е. а крупномасштабные возмущения зависят только от - координаты:

(22)

На начальном этапе эволюцию крупномасштабных возмущений можно представить в виде плоской волны с волновым вектором . Тогда из условия соленоидальности крупномасштабного магнитного поля: или ясно, что поле имеет компоненты Для исследования устойчивости малых крупномасштабных возмущений в уравнениях (16)-(19) можно пренебречь нелинейными членами. В итоге упрощенная система уравнений, описывающая эволюцию крупномасштабных возмущений, принимает вид:

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

=0(29)

Поскольку исследуется проблема генерации крупномасштабных вихревых движений и магнитных полей во вращающейся электропроводящей среде с мелкомасштабными и высокочастотными флуктуациями, то достаточно получить уравнения (23)-(26) в замкнутом виде. Для этой цели нужно вычислить корреляторы:

(30)

(31)

, (32)

, (33)

Их вычисление осуществляется используя решения уравнений для мелкомасштабных полей в нулевом и во втором порядках по .

Замкнутые уравнения для крупномасштабных полей.

В целях упрощения расчетов, выберем неспиральную внешнюю силу , удовлетворяющую условиям (10), в следующем виде:

(34)

где – амплитуда внешней силы, , , . Вид внешней силы (34) можно записать в комплексной форме:

(35)

которая и будет использоваться в дальнейших вычислениях. Мелкомасштабное магнитное поле определяется следующим образом:

(36)

где введено обозначение для оператора . Отсюда видно, что топологические свойства мелкомасштабного поля будут заданы самим источником .

Для неспирального внешнего источника его вид можно аппроксимировать следующей формулой:

или в комплексной форме:

(37)

Отличие вида внешней неспиральной силы и источника состоит в разных по величине безразмерных амплитудах: . Используя приведенные выше соотношения (35), (37) и выражения для мелкомасштабных полей в нулевом и во втором порядках по получим замкнутую систему уравнений, которая описывает эволюцию крупномасштабных полей скорости и магнитной индукции :

(38)

(39)

(40)

(41)

Из уравнений (38)-(41) видно, что коэффициенты и отвечают за конвективный перенос крупномасштабных возмущений скорости и магнитного поля соответственно. Коэффициенты и соответствуют гидродинамическому и МГД - эффектам с помощью которых происходит генерация вихревых и магнитных возмущений. Посредством коэффициентов , , осуществляется взаимное влияние крупномасштабного поля скорости на динамику магнитного поля и наоборот. Если предположить отсутствие источника мелкомасштабных магнитных полей (, то система самосогласованных уравнений (38)-(41) расщепляется на две пары не связанных уравнений для крупномасштабной скорости :

(42)

и крупномасштабного магнитного поля :

(43)

Первая система уравнений (42), за исключением конвективных членов, соответствует уравнениям гидродинамического - эффекта [8], который приводит к генерации крупномасштабных вихревых структур. Вторая система уравнений (43), также за исключением конвективных членов, описывает хорошо известный из теории динамо [1–7] МГД - эффект, приводящий к генерации крупномасштабного магнитного поля мелкомасштабной спиральной турбулентностью. Ниже рассмотрим генерацию крупномасштабных возмущений в более общем случае, который соответствует системе уравнений (38)-(41).

Крупномасштабная неустойчивость.

Приступим сначала к анализу возможности появления крупномасштабной неустойчивости в системе уравнений (42)-(43). Для этого выберем крупномасштабные возмущения скорости и магнитной индукции в виде плоских волн с волновым вектором :

(44)

,

где , — амплитуды волновых возмущений.

Рис. 1. График зависимости инкремента неустойчивости от волновых

чисел

Подставляя (44) в систему уравнений (42)-(43) получим дисперсионные уравнения для случая отсутствия источника мелкомасштабных магнитных полей (:

(45)

Решения уравнений (45) содержат как реальную, так и мнимую часть частоты :

(46)

Как видно из (46), крупномасштабные возмущения могут не только нарастать (затухать) со временем, но и совершать колебания с частотами и . Коэффициенты и имеют смысл фазовой (групповой) скорости распространения вихревых и магнитных возмущений соответственно. В наиболее интересном физическом случае и при эти коэффициенты и принимают самый простой вид:

(47)

(48)

Решение с первым инкрементом (см. Рис. 1) описывает генерацию крупномасштабных вихревых структур во вращающейся стратифицированной электропроводящей среде с коэффициентом усиления равным:

(49)

Рис. 2. График зависимости ГД -эффекта от вращения среды (параметра ) при и

Величина коэффициента зависит от параметра вращения среды , график зависимости которой изображен на Рис. 2. При увеличении эффекта вращения () мы наблюдаем стремление , или подавление ГД - эффекта. Подобное явление было описано в работе [32]. Антисимметричная зависимость от параметра вращения позволяет перенести сделанные выше выводы для области отрицательных значений проекций в обратном порядке. Инкремент вихревой неустойчивости () имеет вид известного из линейной теории динамо - эффекта (см. Рис. 1). Максимальное значение инкремент неустойчивости достигает при .

Рис. 3. График зависимости МГД -эффекта от вращения жидкости (параметра ) для магнитных чисел Прандтля при при и

Магнитогидродинамический -эффект (или -эффект) также увеличивается при «медленном» вращении до максимального значения

Рис. 4. Трехмерное изображение зависимости коэффициента от параметра вращения и числа Прандтля

, после которого при увеличении параметра наблюдается спад но знак коэффициента не изменяется. Это явление отчетливо прослеживается на Рис. 3 для магнитных чисел Прандтля . В случае произвольных значений при «быстром» вращении жидкости мы также наблюдаем подавление - эффекта (см. Рис. 4). Область положительных значений второго инкремента соответствует росту крупномасштабных возмущений магнитного поля с коэффициентом усиления равным:

(50)

Максимальный инкремент достигает своего значения при волновых числах (см. Рис. 5). Эффект генерации крупномасштабного магнитного поля мелкомасштабной спиральной турбулентностью в электропроводящих средах хорошо известен (см. например [1–7]) и носит название магнитогидродинамического (МГД) -эффекта или -эффекта. Полученные нами соотношения (49)-(50) указывают на существование двух -эффектов в электропроводящей среде с ненулевой спиральностью [25].

Рис. 5. График зависимости инкремента неустойчивости от волновых чисел

Рис. 6. Слева — трехмерное изображение зависимости коэффициента от параметра вращения и магнитного числа Прандтля , справа — на рисунке показаны области (светлая часть) и (темная часть) на плоскости

Для слабопроводящих сред () -эффект мал, поэтому происходит генерация только крупномасштабных вихревых движений. Эта закономерность особенно видна на Рис. 6, где изображена зависимость отношения от параметров вращения и магнитного числа Прандтля :

(51)

В правой части Рис. 6 на плоскости показаны области превосходства максимального инкремента неустойчивости для вихревых возмущений над масксимальным инкрементом неустойчивости для магнитных возмущений () и наоборот (). На этом графике мы видим, что наибольшей области соответствует случай , т. е. темпы роста магнитных возмущений выше чем вихревых возмущений. При фиксированных параметрах вращения и магнитных числах Прандтля из Рис. 5 видно, что на интервале волновых чиисел . Таким образом, в результате развития крупномасштабной неустойчивости рост магнитных возмущений опережает рост вихревых возмущений.

Перейдем теперь к общему случаю при наличии мелкомасштабных стационарных флуктуаций магнитных полей, уровень которых поддерживается источником мелкомасштабной МГД-турбулентности. Раcсмотренный нами -эффект на линейной стадии возможен при наличии мелкомасштабного поля , или так называемого в литературе [3] «затравочного» магнитного поля. В теории динамо, к настоящему времени, известно множество механизмов генерации «затравочных» магнитных полей, например, при термоэффекте [28], при развитии плазменных неустойчивостей [29–31] и т. д. Механизм возбуждения «затравочных» магнитных полей будем моделировать в виде внешнего источника, в результате действия которого возникают поля со спиральностью равной нулю: . Динамика крупномасштабных полей в этих условиях описывается самосогласованной системой уравнений (38)-(41), в которой видно взаимное влияние крупномасштабного магнитного поля на вихревое движение среды и наоборот. С учетом источника флуктуаций магнитного поля общее решение системы уравнений (38)-(41) можно представить в следующем виде:

, (52)

В формуле (52) частота с учетом внешнего источника имеет вид:

(53)

где , .

Величина играет роль коэффициента усиления вихревых и магнитных возмущений, обусловленного действием внешнего источника. Очевидно, что при решения (52) переходят в (44). Подставим решения (52) в систему уравнений (38)-(41), и проводя обычные вычисления, получим систему уравнений для амплитуд возмущений:

(54)

Условием разрешимости для системы уравнений (54) является равенство нулю детерминанта, после раскрытия которого получим дисперсионное уравнение:

(55)

где введены следующие обозначения:

(56)

Входящие в формулы (54)-(56) новые коэффициенты появляются в результате действия внешнего источника МГД турбулентности (), и при выполнении условия и они имеют следующий вид:

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

Дисперсионное уравнение (55), после несложных алгебраических преобразований, можно записать в другом более удобном виде:

(62)

Извлекая квадратный корень с обеих сторон уравнения (62), оно распадается на два уравнения:

(63)

(64)

Рассмотрим уравнение (63), которое после умножения левой и правой частей на сводится к уравнению для :

(65)

Из (65) видно, что коэффициент комплексная величина и может быть представлен как

(66)

где – действительная часть : – дает вклад в инкремент крупномасштабной неустойчивости, – мнимая часть дает вклад в частоту колебаний крупномасштабных возмущений. Подставляя (66) в (65) получим систему уравнений для и :

(67)

Отсюда легко найти значения и :

, , , (68)

Здесь введены обозначения: , .

Используя определение (66) находим общие выражения для коэффициента :

(69)

(70)

Согласно формуле (69) положительная часть дает вклад в инкремент крупномасштабной неустойчивости:

(71)

а мнимая часть дополнительную поправку к частоте колебаний:

(72)

Аналогично находятся вклады в инкремент и частоту колебаний из решения (70):

(73)

(74)

Таким образом, учет источника мелкомасштабного магнитного поля приводит к перенормировке коэффициентов усиления и частот колебаний для ГД и МГД - эффектов:

(75)

(76)

где ,

Рис. 7. Слева – светлая часть рисунка соответствует области неустойчивости вихревых возмущений, асправа – темная часть рисунка соответствует области неустойчивости магнитных возмущений при включенном источнике турбулентности ипараметрах ,

Максимальные значения инкрементов соответственно принимают вид:

при (77)

при (78)

Нетрудно заметить, что в полученные здесь добавки входят коэффициенты посредством которых осуществляется влияние вихревых движений на магнитные поля и наоборот. Включение источника мелкомасштабного магнитного поля , как видно из выражений (77)-(78), приводит к перестройке порога неустойчивости. При помощи численных методов мы можем определить области неустойчивости для вихревых и магнитных возмущений. Для вихревых возмущений эта область изображена на Рис. 7 в плоскости для фиксированных значений , и амплитуд безразмерных внешних источников равных десяти: . Аналогичным образом определяются области неустойчивости для магнитных возмущений, которые изображены также на Рис.7.

Заключение.

В заключении приведем количественные оценки характерных масштабов и времен крупномасштабной неустойчивости на примере галактической среды. Начнем анализ оценок масштабов для неустойчивости типа гидродинамического -эффекта. Выше мы получили максимальное значение для инкремента неустойчивости вихревых возмущений и соответственно – характерный масштаб неустойчивой моды и характерный временной масштаб ее нарастания . Очевидно, что для нахождения этих масштабов нужно оценить коэффициент . Из теории динамо [1–7] известно определение гидродинамической спиральности , которую выразим через безразмерную амплитуду источника:

здесь — безразмерная амплитуда силы, входящая в формулы (49)-(50). При выводе этой формулы мы полагали установление баланса между источником и диссипацией в стационарном случае. Далее из формулы (49) коэффициент усиления при малых числах параметра вращения (для центральной части нашей Галактики ) принимает вид:

Для оценок часто полагают (см. например [6]), и в итоге характерные пространственный и временной масштабы соответственно равны:

Используя эспериментальные данные для нашей Галактики: (центральная часть Галактики), , (), [6] легко найти численные оценки и : ,. Это вполне приемлемые оценки характерных масштабов для галактической генерации крупномасштабной вихревой структуры спирального типа. Проводя аналогичные рассуждения можно вычислить характерные пространственные и временные масштабы для крупномасштабной неустойчивости МГД -эффекта:

Численные оценки и показывают, что в галактической среде, в результате развития данной неустойчивости, крупномасштабное магнитное поле генерируется быстрее и имеет меньший характерный масштаб , чем крупномасштабная вихревая структура. Заметим, что проделанные здесь оценки для характерных масштабов крупномасштабной неустойчивости справедливы при выполнении условия , т. е. когда характерный масштаб турбулентности и стратификации примерно равны: , а характерный временной масштаб турбулентности:

Зная определение джинсовой частоты можно оценить плотность галактической среды:. Это типичная плотность для галактических дисков [6, 27].

Применяя асимптотический метод многих масштабов, получены условия возникновения крупномасштабной неустойчивости во вращающейся стратифицированной самогравитирующей электропроводящей среде при наличии внешней мелкомасштабной силы с нулевой спиральностью и малым числом Рейнольдса. Это условие позволило использовать число Рейнольдса в качестве малого параметра асимптотического разложения. В нулевом порядке теории возмущений показана возможность генерации спиральности мелкомасштабного поля скорости (или спиральной турбулентности) во вращающейся стратифицированной самогравитирующей элекропроводящей среде в результате действия внешней неспиральной силы [25]. Именно этот факт приводит к возникновению крупномасштабной неустойчивости типа -эффекта, вследствие которого происходит генерация крупномасштабных вихревых и магнитных возмущений. Причем темпы роста магнитных возмущений выше, чем у вихревых. Мелкомасштабные пульсации магнитного поля, возбуждаемые стационарным источником с нулевой спиральностью, оказывают влияние на эволюцию крупномасштабных возмущений. В этом случае меняется порог крупномасштабных неустойчивостей и на Рис. 7 показаны области где проявляется гидродинамический и магниогидродинамический -эффекты. С ростом амплитуды эти неустойчивости выходят на нелинейную стадию и формируют стационарные крупномасштабные структуры. Исследование этих вопросов можно провести также с использованием метода многих масштабов [16].

Литература:

1. Штеенбек М., Краузе Ф. Возникновение магнитных полей звезд и планет в результате турбулентного движения их веществ. // Магнитная гидродинамика. 1967. № 3. С. 19–44.
2. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М.: Мир. 1980. 343 с.
3. Зельдович Я. Б., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Магнитные поля в астрофизике. Инст. комп. иссл. РХД.: Ижевск. 2006. 384 с.
4. Паркер Ю. Беседы об электрических и магнитных полях в космосе. Инст. комп. иссл. РХД.: Ижевск. 2010. 208 с.
5. Краузе Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо. М.: Мир. 1984. 314 с.
6. Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д., Шукуров А. М. Магнитные поля галактик. М.: Наука. 1988. 279 с.
7. Соколов Д. Д., Степанов Р. А., Фрик П. Г. Динамо на пути от астрофизических моделей к лабораторному эксперименту. // УФН. 2014. Т. 184. С. 318–335.
8. Моисеев С. С., Оганян К. Р., Руткевич П. Б., Тур А. В., Хоменко Г. А., Яновский В. В. Вихревое динамо в спиральной турбулентности. В сб.: Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Наук. Думка: Киев. 1990. С. 280–382.
9. Моффат Г. Некоторые направления развития турбулентности. Соврем. гидродинамика. Успехи и проблемы. М.: Мир. 1984. С. 48–76.
10. Krause F., Rudiger G. On the Reynolds stresses in mean-field hydrodynamics. I. Incompressible homogeneous isotropic turbulence. // Astron. Nachr. 1974. V. 295. P. 93–99.
11. Моисеев С. С., Сагдеев Р. З., Тур А. В., Хоменко Г. А., Яновский В. В. Теория возникновения крупномасштабных структур в гидродинамической турбулентности. // ЖЭТФ. 1983. Т. 85. С. 1979–1987.
12. Петросян А. С. Дополнительные главы теории турбулентности. Спиральная турбулентность. Москва: ИКИ РАН. 2013. 60 с.
13. Moiseev S. S., Rutkevitch P. B., Tur A. V., Yanovsky V. V. Vortex dynamos in a helical turbulent convection. // Sov. Phys. JETP. 1988. V. 67. P. 294–303.
14. Новиков Е. А. Функционалы и метод случайных сил в теории турбулентности. // ЖЭТФ. 1964. Т. 47. Вып. 5(11). С.1919–1926.
15. Кляцкин В. И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука. 1980. 337 с.
16. Frishe U., She Z. S., Sulem P. L. Large Scale Flow Driven by the Anisotropic Kinetic Alpha Effect. // Physica D. 1987. V. 28. P. 382.
17. Дружинин О. А., Хоменко Г. А. Нелинейная теория гидродинамического альфа-эффекта в сжимаемой среде и обратный каскад энергии. В тр. Межд. конф.: Нелинейные и турбулентные процессы в физике. Киев: Наук. думка. 1982. Т. 2. С. 83–86.
18. Rutkevitch P. B., Sagdeev R. Z., Tur A. V., Yanovsky V. V. Nonlinear dynamic theory of the -effect in compressible fluid. Proceeding of the IV Intern. Workshop on Nonlinear and Turb. Pros. in Physics. Kiev.1989. V. 2. P. 172–175.
19. Tur A. V., Yanovsky V. V. Large-scale instability in hydrodynamics with stable temperature stratification driven by small-scale helical force. ArXiv:1204.5024 V.1 [physics. Flu-dyn.] (2012).
20. Tur A. V., Yanovsky V. V. Non Linear Vortex Structure in Stratified Driven by Small- scale Helical Forse. // Open Journal of Fluid Dynamics. 2013. V. 3. P. 64–74.
21. Копп М. И., Тур А. В., Яновский В. В. Крупномасштабная конвективная неустойчивость в электропроводящей среде с мелкомасштабной спиральной турбулентностью. // ЖЭТФ. 2015.Т. 147. С. 846–866.
22. Kopp M., Tur A., Yanovsky V. The Large Scale Instability in Rotating Fluid with Small Scale Force // Open Journal of Fluid Dynamics. 2015. V. 5. P. 128–138.
23. Kopp M., Tur A., Yanovsky V. Nonlinear Vortex Structures in Obliquely Rotating Fluid. // Open Journal of Fluid Dynamics. 2015. V. 5. P. 311–321.
24. Копп М. И. Крупномасштабное магнитовращательное динамо. I. Линейная теория без внешнего магнитного поля // Альманах современной науки и образования. 2016. № 4 (106). С. 59–73.
25. Копп М. И. Генерация крупномасштабных вихревых структур во вращающейся самогравитирующей среде с мелкомасштабной неспиральной силой // Молодой ученый. 2016. № 11(115). С. 101–110.
26. Чхетиани О. Г. Самоорганизация и турбулентность в отражательно-несимметричных плазменно-гидродинамических средах. Дисс. на соиск. уч. степени докт. физ.-мат. наук. Москва. 1999. 262 с.
27. Рольфс К. Лекции по теории волн плотности. М.: Мир. 1980. 205 с.
28. Долгинов А. З., Урпин В. А. Термомагнитная неустойчивость неоднородной плазмы. // ЖЭТФ. 1978. Т. 77. С. 1921–1932.
29. Вайнштейн С. И., Зельдович Я. Б., Рузмайкин А. А. Турбулентное динамо в астрофизике. М.: Наука.1980. 354 с.
30. Вайнштейн С. И. Магнитные поля в космосе. М.: Наука.1983. 237 с.
31. Montgomery D., Chen H. Turbulent amplification of large-scale magnetic fields. // Plasma Physics and Controlled Fusion. 1984. V. 26. № 10. P. 1199–1210.
32. Rudiger G. On the α-Effect for Slow and Fast Rotation. // Astron. Nachr. 1978. V.299. № 4. P. 217–222.