Рассмотрим кубатурную формулу общего вида
(1)
над пространством С. Л. Соболева 
. Здесь, соответственно,
и 
являются коэффициентами и узлами кубатурной формулы (1), 
— весовая функция, 
, 
— 
-мерный тор и 
— порядок обобщенных производных и 
.
Определение 1. Множество 
, где 
, т. е. дробная доля 
, называется 
-мерным тором
.
Определение 2. Пространство 
— определяется как пространство функций, заданных на 
- мерном торе 
и имеющих все обобщенные производные порядка 
суммируемые с квадратом в норме [1–4]
(2)
со скалярным произведением
(3)
где 
— коэффициенты Фурье, т. е. 
.
Разность между интегралом и кубатурной суммой, т. е.
называется погрешностью кубатурной формулы (1), и этой разности соответствует обобщенная функция
(4)
и назовем ее функционалом погрешности кубатурной формулы (1). Здесь 
— характеристическая функция 
.
Задача построения оптимальных кубатурных формул над пространством Соболева 
— это вычисление следующей величины:
(5)
где 
— сопряженное пространство к пространству 
. Для оценки погрешности кубатурной формулы необходимо решить следующую задачу.
Задача 1. Найти норму функционала погрешности (4) данной кубатурной формулы.
Сначала мы должны вычислить норму 
функционала погрешности 
в пространстве 
, а потом если требуется построить оптималную кубатурную формулу, варьируя 
и 
, необходимо решить следующую задачу
Задача 2.Найти такие значения 
и 
, чтобы выполнялось равенство (5).
В настоящей работе занимаемся решением задачи 1 для кубатурной формулы общего вида (1), т. е. вычислением нормы
функционала погрешности 
весовой кубатурной формулы (1) с заданием производных. Для нахождения нормы функционала погрешности (4) в пространстве 
используется его экстремальная функция.
Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (4) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством 
равен
(6)
где 
— коэффициенты, 
— узлы кубатурной формулы (1) и 
— коэффициенты Фурье функции 
, т. е. 
.
Справедлива следующая
Теорема 2.Функция 
является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1) и 
.
На основании теоремы 1 функционал погрешности (4) кубатурной формулы (1) для функций из класса 
имеет оценку: [4]
Литература:
- Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. — 808с.
- Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа, 1973. — 173с.
- Салихов Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. Ташкент: Фан, 1985. — 104 с.
- Шарипов Т. Х. Некоторые вопросы теории приближенного интегрирования. Диссертация кандидата физ.-мат. наук. Ташкент, 1975. — 102 с.
