Библиографическое описание:
Жалолов, О. И. Об одной асимптотической оптимальной кубатурной формуле / О. И. Жалолов, И. Ф. Жалолов. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2016. — № 10 (114). — С. 10-11. — URL: https://moluch.ru/archive/114/30051/ (дата обращения: 18.04.2024).
Рассмотрим кубатурную формулу вида
(1)
над пространством Соболева 
, где 
— 
-мерный единичный куб.
Обобщённая функция
(2)
называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1),
является погрешностью кубатурной формулы (1), 
весовая функция, 
— характеристическая функция 
, 
и 
— коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1) и 
— дельта-функция Дирака.
Определение. Пространство 
— определяется как пространство функций заданных на 
-мерном единичном кубе 
и имеющие все обобщённые производные порядка 
, суммируемые со степенью 
в норме (см. [1])
(3)
где
Справедлива следующая
Лемма. Если для функционала погрешности (2) кубатурной формулы (1) выполняется условие Декартовых произведений, т. е.
и
- константы,(4)
т. е.
- константы, 
,(5)
то
- константа,(6)
или
,
где 
,
и 
.
С помощью этой леммы легко доказывается следующая теорема.
Теорема. Весовая кубатурная формула (1) с функционалом погрешности (2) при 
и 
является оптимальной по порядку сходимости над пространством 
т. е. для нормы функционала погрешности (2) кубатурной формулы (1) имеет место равенство
.
Доказательство.
На основе леммы при 
имеем 
, 
.
Итак,
.(7)
Подставляя (7) в неравенство
получим
,(8)
Из теоремы Н. С. Бахвалова [3] и неравенство (8) следует доказательство сформулированной теоремы.
Литература:
-
Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. — М.: Наука, 1974–808с.
-
Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Наука. 1988, — 333с.
-
Бахвалов Н. С. С Оценки снизу асимптотических характеристик классов функций с доминирующей смешанной производной, Мат. заметки, 1972, т.2. № 6, -С.655–664.
Основные термины (генерируются автоматически): функционал погрешности, мерный единичный куб, формула.
Похожие статьи
Рассмотрим кубатурную формулу вида. (1). Над пространством Соболева , где — -мерный единичный куб. Обобщённая функция. (2). Называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1), Является погрешностью кубатурной формулы (1)...
В настоящей работе рассматривается наиболее распространенный вид кубатурной формулы [1]. (1). В пространстве на поверхности сферы, где мерная единичная сфера, — интегрируемая функция по сфере , т. е. И , Где — сферическая гармоника порядка вида .
, — дельта функция Дирака, — число узлов. В (2) и (3) — называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1).
Настоящая работа посвящена для функций n — переменных. , принадлежащих в пространстве , т. е. , где — n мерных тор.
формула, мерный тор, общий вид, норма функционала погрешности, пространство, экстремальная функция, функционал погрешности.
Пусть функции , заданные на единичной сфере S принадлежат некоторому Банаховому пространству B, вложенному в пространство непрерывных функций на S. Функции
Норма функционала погрешности кубатурной формулы (1) над пространством равна.
является функционалом погрешности интерполяционной формулы (1) и принадлежит пространству .
Теорема 1. Явное выражение для экстремальной функции функционала погрешности (3) определяется формулой.
Оценить погрешность измерений. Для решения поставленной задачи необходимо собрать электрическую цепь, изображенную на рисунке 2.
. Определим среднее значение сопротивления по формуле: (Ом). Погрешность такого косвенного измерения сопротивления...
