В данной работе рассматривается математическое моделирование нижнего уровня образовательного процесса: обучение по группе дисциплин, контроль которого периодически осуществляется специальной системой тестирования.
В качестве объекта исследования выбрана подготовка школьников на базе Рубцовского института (филиала) Алтайского государственного университета к сдаче ЕГЭ по математике, как примера обучения по группе дисциплин, в котором можно контролировать исходные знания обучающихся, динамику знаний в процессе обучения и финальный результат (балл, полученный учащимся в результате сдачи ЕГЭ).
В процессе исследования мы рассматриваем общую математическую модель для описания процесса индивидуального и группового обучения в динамике с учетом влияния смежных знаний на нижнем уровне организации профессиональной подготовки в вузах; формируем таблицу наблюдений для идентификации параметров модели и определяем требования по ее формированию; классифицируем объекты моделирования, исследуем математическую модель обучения в линейном варианте на чувствительность, а также проводим интерпретацию результатов обработки данных и построенной математической модели процесса обучения.
Приобретение обучающимися определенных знаний, умений и навыков в процессе обучения можно представить с помощью динамической модели, в которой учитываются следующие факторы: индивидуальная динамика процесса обучения с учетом (без учета) междисциплинарных связей; эффекты взаимодействия учащихся в группе; социально-экономические факторы среды образовательного процесса; уровня рыночных мотиваторов и др.
В данной работе ограничимся исследованием простой математической модели динамики знаний в процессе обучения, в котором участвуют n независимых индивидов. Будем считать, что контроль исходных знаний начинается в момент времени 
(проведение начального тестирования, т.н. «входного контроля»), а уровень знаний учащихся мы можем измерять в узлах временной сетки
; 
,(1)
где 
— шаг сетки.
На уровень подготовленности помимо освоения теоретического материала и решения практических задач значительное влияние оказывают способности самого обучающегося. Так, процесс динамики знаний на отрезке 
можно описать следующей совокупностью независимых разностных уравнений:
, 
(2)
где
— уровень знаний по предмету (комплексу предметов), по которым осуществляется подготовка в момент времени (t+1);
— уровень знаний по предмету (комплексу предметов), по которым осуществляется подготовка в момент времени t;
— фактор тренировки (контрольные работы, курсовые работы, практики и т. п.) i-того учащегося;
— фактор обучения (базовые знания) i-того учащегося;
— индивидуальные коэффициенты потенциала обучающихся, 
.
Модель (2), про нашему мнению, может быть применена для исследования динамики знаний обучающихся для сдачи ЕГЭ по математическим дисциплинам [2, с. 83].
Для того, чтобы оценить адекватность модели (2) необходимо в течение определенного времени проводить наблюдение изменения уровня знаний обучающихся. Для этого через примерно равные промежутки времени проводится тестирование учащихся.
Оценку теоретической и практической работы обучающихся преподаватель проводит на занятиях (в сумме баллы за теоретическую и практическую работу должны быть в пределах 100 баллов). Соотношение доли практической работы и теоретического обучения определяется количеством часов, отведенных на лекции и практикумы в учебном плане.
За тестирование учащийся также может набрать не более 100 баллов. Это обусловлено использованием в Рубцовском институте (филиале) Алтайского государственного университета 100-балльной шкалы оценивания успеваемости студентов.
Таблица наблюдений формировалась в течение 5 месяцев подготовки к ЕГЭ по математике. За указанный период было проведено 6 тестирований. Параллельно преподаватель оценивал теоретическую подготовку и практическую работу обучающихся. В качестве заключительного тестирования были взяты результаты сдачи ЕГЭ по математике.
Модель (2) является динамической авторегрессионной моделью вида 
. Для определения коэффициентов 
с помощью метода наименьших квадратов ее сводят к уравнению множественной регрессии [6, с. 516–518].
Эмпирическое уравнение регрессии определяется на основе конечного числа статистических данных. Поэтому коэффициенты эмпирического уравнения регрессии являются случайными величинами, изменяющимися от выборки к выборке. При проведении статистического анализа перед исследователем зачастую возникает необходимость сравнения эмпирических коэффициентов регрессии с некоторыми теоретически ожидаемыми (истинными по генеральной совокупности) значениями этих коэффициентов. [5, с. 70].
После оценки индивидуальной статистической значимости каждого из коэффициентов регрессии обычно анализируется совокупная значимость коэффициентов, т. е. всего уравнения в целом. Такой анализ осуществляется на основе проверки гипотезы об общей значимости гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных. Для оценки взаимосвязи между зависимой и объясняющими переменными используется множественный коэффициент детерминации, показывающий долю вариации зависимой переменной, обусловленную регрессией или изменчивостью объясняющих переменных [6, с. 169–171].
Одной из важнейших задач анализа динамики уровня обученности является прогнозирование на его основе уровня подготовленности обучающихся. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена на будущий период. Но если вид уравнения регрессии выбран неудачно, то отклонения от него (возмущения 
) не будут независимыми. В этом случае можно наблюдать заметную концентрацию положительных и отрицательных возмущений, и можно предполагать их взаимосвязь. Если последовательные значения коррелируют между собой, то говорят об автокорреляции остатков (возмущений ).
Наиболее простым и достаточно надежным критерием определения автокорреляции возмущений является критерий Дарбина-Уотсона [6, с. 510–514].
Полученные результаты для 10 учеников представлены в табл.1.
Таблица 1
Результаты эксперимента для 10 учеников
|
№ |
|
|
|
R2 |
|
1 |
0,8217 |
0,1295 |
0,2273 |
0,98 |
|
2 |
0,7715 |
0,2689 |
0,3806 |
0,93 |
|
3 |
0,4365 |
0,2216 |
0,8669 |
0,99 |
|
4 |
0,6028 |
0,4555 |
0,3582 |
0,99 |
|
5 |
0,535 |
0,7852 |
0,3046 |
0,92 |
|
6 |
0,4428 |
0,4250 |
0,9600 |
0,99 |
|
7 |
0,4349 |
0,4347 |
0,5057 |
0,99 |
|
8 |
0,3718 |
0,6068 |
0,6774 |
0,99 |
|
9 |
0,3245 |
0,3762 |
0,8343 |
0,99 |
|
10 |
0,2339 |
0,3338 |
0,9539 |
0,87 |
После определения коэффициентов с использованием полученных результатов (табл. 1), литературных источников и педагогического опыта автора можно провести следующую классификацию обучающихся по их способностям к обучению (рис. 1):
-
Коэффициент забывания
лежит в интервале (0;0,5). Такие студенты быстро забывают изученную информацию, поэтому им необходимо дополнительно тренировать память, чтобы получить более высокий уровень компетентности.
-
Коэффициент забывания
лежит в интервале (0,5;1). Студенты с высоким значением этого коэффициента обладают хорошей памятью, и при хорошей теоретической и практической подготовке могут достигнуть высоких результатов обучения.
-
Коэффициент тренировки (практической работы)
лежит в интервале (0;0,5). Такой результат говорит о том, что обучающийся обладает недостаточной теоретической базой, и ему необходимо обратить внимание на изучение теоретического материала.
-
Коэффициент тренировки (практической работы)
лежит в интервале (0,5;1). Здесь можно сделать вывод о том, что студент очень хорошо усваивает теоретический материал.
-
Коэффициент теоретического обучения
лежит в интервале (0;0,5). Такое значение коэффициента тренировки показывает нам, что обучающийся обладает недостаточными практическими навыками в рассматриваемой области и для повышения уровня компетентности ему необходимо больше внимания уделять практической работе.
-
Коэффициент теоретического обучения
лежит в интервале (0,5;1). В этом случае можно говорить о том, что обучающийся достаточно времени уделял практической работе.
-
Все коэффициенты лежат в интервале (0,5;1). Такие значения коэффициентов являются показателем того, что обучающийся обладает высоким потенциалом развития в рассматриваемой области.
Рис. 1. Распределение учащихся в зависимости от значений индивидуальных коэффициентов
На основе полученной информации и индивидуальных коэффициентов можно сообщать учащимся их слабые и сильные стороны, предлагать методы совершенствования способностей. Для преподавателей и работодателей данная информация полезна тем, что, зная индивидуальные особенности своих потенциальных работников, они смогут предложить деятельность, наиболее соответствующую их возможностям, а также спрогнозировать уровень подготовленности по группе дисциплин через определенные промежутки времени [2, с. 84–85].
Математические модели, описывающие те или иные процессы или явления, являются приближенными. Начальные данные, параметры модели, вид уравнения (или системы уравнений) могут изменяться, если учесть ранее отброшенные или неучтенные факторы, либо более точно измерить начальные данные, либо учесть изменения параметров уравнений, происходящие при проведении эксперимента.
Если такие даже незначительные изменения параметров уравнений и начальных данных приводят также к небольшому изменению решения, то такие решения можно рассматривать как приближенно описывающие процесс. Но, если при малых изменениях начальных данных, решения сильно изменяются, то полученные решения не представляют никакой ценности и даже приближенно не описывают явления или процессы.
Чувствительность математической модели можно определить, как способность модели реагировать определённым образом на определённое малое воздействие, а также количественная характеристика этой способности. Для анализа чувствительности математических моделей наиболее часто используют метод прямого моделирования, сущность которого состоит в следующем [7, с. 128–129].
Задача решается при невозмущенных параметрах модели 
, 
, 
, 
, 
и возмущенных значениях 
, 
, 
, 
, 
, где D — область допустимых значений соответствующих параметров [3, с. 153]. В результате получаем векторы состояний. Например, для 
и 
:
и
.(3)
Искомая вариация получается по формуле:
(4)
Компьютерное исследование математической модели обучения на чувствительность выполнено в программе MSExcel.
Параметры модели (2)
, 
, 
, 
, 
, 
при проведении эксперимента изменялись как в сторону увеличения на 5 %, так и в сторону уменьшения на 5 %. Во всех вариантах рассчитывался уровень знаний учащихся по математике.
В нашем исследовании при использовании данного метода получены следующие результаты (проиллюстрируем полученные результаты на примере первого ученика).
На рис. 2 приняты следующие обозначения: xt — кривая изменения уровня знаний первого учащегося по математике с базовыми значениями параметров; xt(11) — кривая изменения уровня знаний первого учащегося по математике с измененным параметром фактора тренировки Vt+5 %; xt(12) — кривая изменения уровня знаний первого учащегося по математике с измененным параметром фактора теоретического обучения Zt+5 %; xt(13) — кривая изменения уровня знаний первого учащегося по математике с измененным параметром стационарного уровня знаний x0+5 %; xt(14) — кривая изменения уровня знаний первого учащегося по математике с измененным параметром коэффициента забывания +5 %; xt(15) — кривая изменения уровня первого учащегося по математике с измененным параметром коэффициента тренировки +5 %; xt(16) — кривая изменения уровня знаний первого учащегося по математике с измененным параметром коэффициента теоретического обучения +5 %.
Рис. 2. Влияние вариации параметров модели на уровень знаний учащихся при увеличении данных на 5 %
На рис. 3 приняты следующие обозначения: xt — кривая изменения уровня знаний первого учащегося по математике с базовыми значениями параметров; xt(21) — кривая изменения уровня знаний первого учащегося по математике с измененным параметром фактора тренировки Vt-5 %; xt(22) — кривая изменения уровня знаний первого учащегося по математике с измененным параметром фактора теоретического обучения Zt-5 %; xt(23) — кривая изменения уровня знаний первого учащегося по математике с измененным параметром стационарного уровня знаний x0–5 %; xt(24) — кривая изменения уровня знаний первого учащегося по математике с измененным параметром коэффициента забывания -5 %; xt(25) — кривая изменения уровня знаний первого учащегося по математике с измененным параметром коэффициента тренировки -5 %; xt(26) — кривая изменения уровня знаний первого учащегося по математике с измененным параметром коэффициента теоретического обучения -5 %.
Рис. 3. Влияние вариации параметров модели на уровень знаний учащихся при уменьшении данных на 5 %
При увеличении значения коэффициента забывания на 5 % кривая изменения уровня знаний учащихся по математике xt(14) перемещается резко вверх по отношению к кривой xt (рис. 2). При уменьшении значения коэффициента забывания на 5 % кривая изменения уровня знаний учащихся по математике xt(24) смещается резко вниз относительно кривой xt (рис.3).
При изменении остальных параметров для первого учащегося на 5 % как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения кривые практически не смещаются (рис. 2 и рис. 3). Аналогично кривые ведут себя и в случаях с другими учениками.
На основании полученных результатов можно говорить о том, что для определения индивидуального коэффициента забывания учащихся должны предъявляться более высокие требования, чем к другим параметрам модели.
Таким образом, можно сделать вывод о том, что линейная модель обучения (2) довольно точно описывает реальный процесс динамики квалификации и уровня знаний по математике. В дальнейшем предполагается адаптировать данную модель для оценивания уровня компетентности студентов в Рубцовском институте (филиале) АлтГУ с учетом влияния межпредметных связей на итоговый уровень компетентности выпускников вуза.
Литература:
- Бородич С. А. Эконометрика: Учебное пособие. — Минск: Новое знание, 2001
- Досымова М. В. Математическое моделирование динамики знаний обучающихся в процессе подготовки к ЕГЭ по математике // Известия Алтайского государственного университета. — 2011. — № 1.
- Досымова М. В. Анализ чувствительности и устойчивости линейной математической модели процесса обучения // Известия Алтайского государственного университета. — 2014. — № 1.
- Киселева О. М. Применение методов математического моделирования в обучении: Автореферат диссертации. — Смоленск: Типография УВД Смоленской области, 2007
- Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001
- Кузьмин П. И. Эконометрические модели: Учебно-методическое пособие. — Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2004
- Хворова Л. А. Методы исследования чувствительности моделей продуктивности агроэкосистем // Известия Алтайского государственного университета. — 2013. — № 1.
