Библиографическое описание:
Бахшуллаева, М. Ш. Конечность одномерного интеграла, зависящего от параметра / М. Ш. Бахшуллаева. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2017. — № 15 (149). — С. 102-104. — URL: https://moluch.ru/archive/149/41671/ (дата обращения: 10.05.2024).
Пусть — некоторая аналитическая функция на . Определим регулярную функцию
.
Задача состоит из определения функции в точках и . Обычно такие задачи возникают при изучении пороговых явлений в спектре модели Фридрихса и их обобщений [1].
Очевидно, что
,
.
Из определения функции видно, что оно монотонно возрастает в интервалах и . Из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега [2] следует, что существуют конечные или бесконечные интегралы
,
.
Для любого и положим
.
Тогда имеет место соотношение
.
Отметим, что если , то из аналитичности функции в следует, что существуют положительные числа и такие, что имеет место неравенство
(1)
для некоторого . В силу непрерывности функции на компактном множестве , существует число такое, что имеет место неравенство
(2)
при всех . Так как функция имеет невырожденный минимум в точке , для найденных положительных и также имеет место неравенства
, (3)
. (4)
Для определенности предположим, что . Тогда имеет место равенство
. (5)
Учитывая неравенства (2) и (4) для первого и третьего слагаемого стоящей в правой части равенства (5) имеем
,
.
Далее, учитывая неравенства (1) и (3), для второго слагаемого стоящей в правой части равенства (5) имеем
.
Таким образом, если , то
.
Пусть теперь . В этом случае силу непрерывности функции существуют положительные числа и такие, что при всех . Учитывая этот факт и неравенства (3) получим, что
.
Таким образом, в случае имеет место соотношение
.
Рассуждая аналогично можно указать условия существования интеграла
.
Пусть – гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . В рассмотрим ограниченный самосопряженный модель Фридрихса
.
Для этой модели определитель Фредгольма имеет вид
.
Изложенные факты в этой работе играют важную роль при изучении спектральных свойств оператора , т. е. модели Фридрихса.
Литература:
-
S.Albeverio, S. N. Lakaev, Z. I. Muminov. The threshold effects for a family of Friedrichs model under rank one perturbations. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 330 (2007), P. 1152–1168.
-
А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М. «Наука». 1981.
Основные термины (генерируются автоматически): место, неравенство, правая часть равенства, сила непрерывности функции.
Похожие статьи
Имеет место равенство. (3). Учитывая неравенства (1) и непрерывность функции на имеем, что - тое ( ) слагаемое в правой части (3) оценивается следующим образом
1) Если , то верно равенство . 2) При имеет место равенство .
Лемма 2. Для любого имеет место неравенство . (7). Определим оператор равенством и рассмотрим уравнение. (8).
Об одной задаче определения правой части линейного дифференциального уравнения четвертого порядка.
Из леммы 1 вытекает, что для дискретного спектра оператора имеет место равенство.
Пусть . Тогда из непрерывности функции на следует, что существуют числа и такие, что при всех .
Сначала заметим, что если при всех и имеет место неравенство . Поэтому в силу леммы 1...
Особое место отводится методическим рекомендациям по изучению решения уравнений и неравенств данной темы, даются указания по работе с ними (алгоритм) и решения наиболее трудных из них с подробной
1) построить графики функций левой и правой частей уравнения
где — некоторое вещественное число, решаются следующим образом: возведя в квадрат обе части равенства (1), получим.
В силу (3), имеем. . Учитывая это равенство в (5), получим
Функция, заданная по формуле (6), получена с помощью арифметических операций над...
Тогда справедливо равенство.
Так как правая часть неравенства возрастает по и убывает по , то из полученных оценок и следует
Тогда, если то имеет место неравенство. где - положительная абсолютная константа.
Точно так же, как некоторые потребители, благодаря действию рыночных сил, получают
Решение. Найдем точку рыночного равновесия из равенства : . Откуда . Так как по условию
Как видно из графика, в обществе всегда имеет место быть неравенство в распределении...
Скачать Часть 7 (pdf). Библиографическое описание
Решение неравенств тривиальными алгебраическими методами вызывает у обучающихся ряд трудностей вычислительного характера.
Рассмотрим следствия, выделенные с учетом области определения функций