Модели блочной среды для исследования колебательных процессов в структурно неоднородных средах



Введение

Анализ колебательных процессов в средах с блочной структурой имеет большой практический интерес. Обычно исследуется кирпичная кладка, которая представляет классическую блочную среду с относительно толстыми податливыми прослойками. Большая часть приложений в строительстве посвящена разработкам дискретных и непрерывных моделей, имитирующих подобную среду и позволяющих воспроизвести такие явления, как появление трещин и совместное проскальзывание, отвечающие за появление структурных разрушений в результате землетрясения [1]. Блочные структуры здесь могут представляться в виде набора блоков или частиц, являющихся идеализацией их прерывистой природы, определяющей механическое поведение системы [2].

Не менее широко модель блочной среды используется для описания волновых процессов в горных породах [3, 4] и трещиноватых и пористых средах, имеющих инородные включения [5]. Находящиеся в породе трещины разделяют среду на блоки, имеющие схожие механические характеристики. Свойства модели блочной среды, состоящей из абсолютно жестких блоков, которые разделены деформируемыми прослойками, представлены в [6]. В работе [7] исследуются закономерности проявления запредельных деформаций, протекающих в реальных иерархически блочных массивах скальных горных пород. Распространение волн в трансверсально-изотропной упругой среде, каждый период которой разделен на несколько различных частей границами с контактом проскальзывания, изучалось в работе [8]. Влияние толщины прослоек на волновые свойства блочной среды исследовалось в [9, 10]. Показано, что при малой толщине прослоек в модели блочной среды, состоящей из упругих блоков, применима классическая теория изотропного континуума, в то время как для относительно толстых прослоек ярко выражен эффект анизотропии. Анализ влияния типа прослоек на свойства блочной среды проведен в [11], где модели деформирования материала прослоек строились на основе реологического метода. Поведение неконсолидированных гранулированных сред, характерных для нефтяных коллекторов, исследовано в [12].

В данной работе строятся модели блочной среды с прослойками, имеющими различные свойства: упругая прослойка, вязкоупругая прослойка и разномодульная упругая прослойка, по-разному сопротивляющаяся растяжению и сжатию.

Модель блочной среды с упругими прослойками

Рассмотрим случай плоской деформации массива блочной структуры, составленного из прямоугольных упругих блоков со сторонами и и межблочными прослойками толщиной и . Стороны блоков параллельны осям и (рис. 1). Движение каждого блока задается системой уравнений однородной изотропной упругой среды:

(1)

Здесь – плотность материала блока, и – скорости продольных и поперечных упругих волн. Система записана относительно проекций вектора скорости и компонента тензора напряжения . Координаты и являются локальными в блоке с началом координат в левом нижнем углу блока.

Рис. 1. Схема блочной среды

Упругая прослойка между стоящими рядом в горизонтальном направлении блоками с индексами и описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, учитывающей массу, а также продольную и поперечную жесткость прослойки:

(2)

где – плотность и скорости продольных и поперечных волн в прослойке. Упругая прослойка между стоящими рядом в вертикальном направлении блоками с индексами и описывается с помощью уравнений

(3)

В уравнениях (3) индексы «+» и «–» относятся к границам взаимодействующих блоков. Данные уравнения термодинамически согласованы с уравнениями (1) в том смысле, что для блочной среды в целом выполняется закон сохранения энергии, где сумма кинетической и потенциальной энергий блочной среды равна сумме кинетической и потенциальной энергий блоков и прослоек. Вопросы термодинамической согласованности для моделей, описывающих поведение различных сплошных сред, обсуждались в монографии [13]. Отсутствие термодинамической согласованности может привести к нежелательным и ложным эффектам при верификации модели.

Для численного решения системы (1)–(3) при заданных начальных данных и граничных условиях разработан вычислительный алгоритм, основанный на методе двуциклического расщепления по пространственным переменным. Двуциклическое расщепление в блоках предполагает четыре последовательно выполняемых этапа, суть которых заключается в решении одномерных систем. В отличие от обычного одноциклического метода он имеет второй порядок аппроксимации по пространственным координатам и времени в случае, если схемы второго порядка используются для решения одномерных систем уравнений. Одномерные системы в блоках решаются на основе схемы распада разрыва Годунова с равномерной сеткой и максимально возможным шагом по времени, определяемым критерием Куранта-Фридрихса-Леви: . Учитывая выбранный шаг по времени, схема для продольных волн как минимум в одном направлении не имеет порожденной аппроксимацией диссипации энергии и, тем самым, не приводит к нефизическому затуханию амплитуд бегущих волн. Диссипация энергии поперечных волн может быть уменьшена за счет применения процесса реконструкции. Для уравнений (2) и (3) используется метод Иванова [14]. В соответствии с данным методом, шаг сетки по времени вычисляется в два этапа согласно обозначениям, представленным на рис. 2.

На этапе «предиктор», основываясь на решении с предыдущего временного слоя, находятся скорости и напряжения относящиеся к боковым граням прослойки на промежуточном временном слое. На этапе «корректор» значения и относящиеся к верхнему временному слою, находятся из уравнений, аппроксимирующих (2) и (3). Опуская индексы, уравнения отдельно для продольных и поперечных волн могут быть записаны в виде

(4)

Рис. 2. Обозначения в численной схеме

Значения и на промежуточном временном слое находятся с применением замыкающих уравнений

(5)

которые гарантируют отсутствие схемной диссипации энергии. Последние два уравнения получены из отношений на бихарактеристики системы (1) и имеют вид

(6)

где – акустический импеданс среды, а значения инвариантов Римана и берутся с нижнего временного слоя в приграничных ячейках смежных блоков. Используя метод Иванова, можно предварительно задать заранее определенную диссипацию энергии.

Модель вязкоупругости Пойнтинга–Томсона

Рассмотрим напряженно-деформированное состояние блочной среды, аналогичное состоянию в первой модели, с той разницей, что между упругими блоками находится прослойка с вязкоупругими свойствами, соответствующими реологической схеме, представленной на рис. 3. Упругость такой системы является «совершенной» в том смысле, что вся деформация полностью исчезает при разгрузке и является поэтому «упругой» [15]. Данная механическая модель впервые была предложена Пойнтингом и Томсоном с целью объяснения поведения стеклянных волокон. При постоянном напряжении в подобной системе действующая на элемент сила постепенно релаксирует, вызывая рост общей деформации. После прекращения действия силы часть упругой энергии освобождается мгновенно, а оставшаяся часть освобождается постепенно за счет релаксации напряжения, передаваемого вязким элементом. Это означает, что подобная система сочетает в себе свойства мгновенной и задержанной упругости. Как частный случай, из нее следует две основные модели вязкоупругих сред: модель Максвелла и модель Кельвина–Фойхта.

Рис. 3. Реологическая схема Пойнтинга-Томсона

Деформацию левой пружины определим с помощью равенства правой пружины – соотношением где означает упругое напряжение, и – коэффициенты упругости для пружин. Для вязкого элемента выполняется равенство где – модуль вязкости. Общее напряжение в системе и напряжение в правой пружине описываются уравнениями и соответственно. Учитывая, что для вязкого элемента верно выражение легко выписываются определяющие уравнения напряженно-деформированного состояния системы:

(7)

Уравнение баланса энергии преобразуется в виде суммы потенциальной и диссипативной частей энергии, соответственно:

(8)

а, согласно представленной реологической схеме, уравнения прослойки будут иметь вид:

(9)

Для решения задачи также использовалась бездиссипативная разностная схема Иванова. Численный метод будет иметь пять неизвестных: Уравнения прослойки аппроксимируются следующим образом:

(10)

Уравнение, описывающее состояние в блоке, примет вид:

(11)

Аналогично модели с упругими прослойками; дополнительные уравнения получены за счет требования выполнения уравнения баланса энергии и имеют вид (5), за тем исключением, что к ним добавляется замыкающее уравнение для упругих напряжений

(12)

Выполнимость уравнения баланса энергии в дискретном виде, гарантирующего устойчивость счета, легко показать, используя (11)и соотношения (5), (12). Уравнения на характеристики для схемы в блоках имеют вид (6). В результате преобразований получена система из пяти уравнений, где первые три уравнения аппроксимируют поведение блоков и прослоек, а последние два – модифицированные уравнения на бихарактеристики (6). Представленная разностная схема является неявной и, безусловно, устойчивой. Используя введенные обозначения

(13)

решение системы может быть представлено в виде:

(14)

Построенная модель используется для поперечных волн, поскольку в продольных влияние вязкости пренебрежимо мало.

Модель блочной среды с жестким контактом

Построим теперь более общую модель распространения продольных волн, учитывающую контактное взаимодействие блоков. Рассмотрим напряженно-деформированное состояние блочной среды, аналогичной первой модели, с той разницей, что между упругими блоками находится прослойка, по-разному сопротивляющаяся растяжению и сжатию. Свойства прослойки соответствуют реологической схеме, представленной на рис. 4. Наличие жесткого контакта в модели позволяет исключить случай, при котором часть одного блока может оказаться в другом блоке.

Рис. 4. Модель блочной среды с жестким контактом

Напряжение в системе можно описать в виде суммы гдеи являются напряжениями в нижней и верхней пружинах, соответственно. Деформация системы представима в виде где – деформация контакта. Наличие жесткого контакта означает, что система может находиться в одном из трех состояний: покоя (напряжение и деформация отсутствуют); замыкания контактов (дальнейшая деформация невозможна, значит, ); при наличии деформации отсутствует напряжение (). Определяющее выражение запишем в виде или где – проектор на отрицательную полуось. Уравнения прослойки примут вид:

(15)

а уравнение баланса энергии запишется

(16)

Адаптируем схему Иванова под исследуемую модель, оставив прежними введенные ранее обозначения в схеме. Аппроксимируем уравнения прослойки выражениями

(17)

Уравнения (17) дополняются уравнениями Иванова (5) и соотношениями на инварианты Римана (6). Система (5), (6), (18) удовлетворяет уравнению баланса энергии в дискретном виде, а численный алгоритм на каждом временном слое примет вид:

(18)

Выводы

В результате исследования построены модели как для случая с упругими прослойками, так и для сред с более сложными механическими свойствами. Так, модель Пойнтинга–Томсона учитывает вязкоупругие свойства прослоек, в то время как жесткий контакт исключает возможность проникновения одного блока в другой. Использование усложненных моделей позволяет более реалистично моделировать колебательные процессы в блочных средах.

Автор благодарит профессора Садовского В.М. за оказанное содействие в написании статьи. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 16-31-00078).

Литература:

1. Azevedo J., Sincraian G., Lemos J.V. Seismic Behavior of Blocky Masonry Structures // Earthquake Spectra. – 2009. – V. 16, No. 2. – P. 337–365.
2. Lemos J.V. Discrete Element Modeling of Masonry Structures // International journal of Architectural Heritage: Conservation, Analysis, and Resеoration. – 2007. – No. 1. – P. 190-213.
3. Айзенберг-Степаненко М.В., Шер Е.Н. Моделирование волновых явлений в структурированных средах // Физическая мезомеханика. – 2007. – Т. 10, № 1. – С. 47–57.
4. Астафуров С.В., Шилько Е.В., Псахье С.Г. Влияние стесненных условий на характер деформирования и разрушения блочных сред при сдвиговом нагружении // Физическая механика. – 2009. – Т. 12, № 6. – С. 23–32.
5. Молотков Л.А. Об эффективной модели упругой блочной среды с проскальзыванием на границах // Зап. научн. сем. ПОМИ. – 1994. – № 218. – С. 96–117.
6. Сарайкин В.А. Распространение низкочастотной составляющей волны в модели блочной среды // Прикладная механика и техническая физика. – 2009. – Т. 50, № 6. – С. 177–185.
7. Балек А.Е. Управление напряженно-деформированным состоянием скального массива путем регулируемых подвижек консолидированных геоблоков // Горный информационно-аналитический бюллетень. – 2005. – № 6. – С. 163–169.
8. Молотков Л.А., Хило А.Е. Исследование однофазных и многофазных эффективных моделей, описывающих периодические среды // Зап. научн. сем. ЛОМИ. – 1984. – № 140. – С. 105–122.
9. Садовский В.М., Садовская О.В., Похабова М.А. Моделирование упругих волн в блочной среде на основе уравнений континуума Коссера // Вычислительная механика сплошных сред. – 2014. – Т. 7, № 1. – С. 52–60.
10. Sadovskii V.M., Sadovskaya O.V. Modeling of elastic waves in a blocky medium based on equations of the Cosserat continuum // Wave Motion. – 2015. – V. 52. – P. 138–150.
11. Варыгина М.П., Похабова М.А., Садовская О.В., Садовский В.М. Вычислительные алгоритмы для анализа упругих волн в блочных средах с тонкими прослойками // Вычислительные методы и программирование. – 2011. – Т. 12. – С. 435–442.
12. Гарагаш И.А. Модель динамики фрагментированных сред с подвижными блоками // Физическая мезомеханика. – 2002. – Т. 5, № 5. – С. 71–77.
13. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. – М.: Научная книга, 1998. – 280 с.
14. Иванов Г.В., Волчков Ю.М., Богульский И.О., Анисимов С.А., Кургузов В.Д. Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твердых тел. – Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2002. – 352 с.
15. Рейнер М. Реология // Под ред. Э.И. Григолюка. – М.: Наука, 1965. – 225 с.